Номер 4, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 4, страница 40.

4. Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключённую между числами:

а) $0,(5)$ и $0,(15)$;

б) $0,(20)$ и $0,(200)$;

в) $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$;

г) $0,12$ и $0,13$.

а) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,(5)$ и $0,(15)$.

Запишем эти дроби в развернутом виде, чтобы сравнить их:

$0,(5) = 0,5555...$

$0,(15) = 0,151515...$

Мы ищем число $x$, такое что $0,151515... < x < 0,5555...$.

Существует бесконечно много таких чисел. Например, мы можем взять число, которое начинается с $0,2$, $0,3$ или $0,4$. Возьмем, к примеру, периодическую дробь $0,(2)$.

$0,(2) = 0,2222...$

Проверим неравенство: $0,151515... < 0,2222... < 0,5555...$. Неравенство верное. Таким образом, $0,(2)$ является периодической дробью, заключенной между заданными числами.

Ответ: $0,(2)$.

б) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,(20)$ и $0,(200)$.

Запишем эти дроби в развернутом виде:

$0,(20) = 0,202020...$

$0,(200) = 0,200200200...$

Сравнивая эти два числа, видим, что $0,(20) > 0,(200)$, так как на третьем знаке после запятой у первого числа стоит цифра 2, а у второго — 0.

Мы ищем число $x$, такое что $0,200200... < x < 0,202020...$.

Мы можем сконструировать такое число. Оно должно начинаться с $0,20$. Третья цифра после запятой должна быть больше 0 (как у меньшего числа), но меньше 2 (как у большего числа). Возьмем, например, цифру 1. Получим число, начинающееся на $0,201$. Чтобы сделать его периодической дробью, можно взять, например, $0,201(0)$ (что то же самое, что и $0,201$) или $0,20(1)$.

Возьмем $x = 0,20(1) = 0,20111...$.

Проверим неравенство: $0,200200... < 0,20111... < 0,202020...$. Неравенство верное.

Ответ: $0,20(1)$.

в) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

Сначала представим эти обыкновенные дроби в виде десятичных:

$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$

$\frac{1}{2} = 0,5$ (или $0,5(0)$)

Мы ищем число $x$, такое что $0,(3) < x < 0,5$. То есть $0,333... < x < 0,500...$.

Любое число, начинающееся с $0,4...$ будет подходить. Возьмем, например, периодическую дробь $0,4(5)$.

$0,4(5) = 0,4555...$

Проверим неравенство: $0,333... < 0,4555... < 0,5$. Неравенство верное.

Ответ: $0,4(5)$.

г) Нам нужно найти периодическую дробь между числами $0,12$ и $0,13$.

Мы ищем число $x$, такое что $0,12 < x < 0,13$.

Это эквивалентно поиску числа между $0,12000...$ и $0,13000...$.

Любое число, которое начинается с $0,12$ и имеет после этого хотя бы одну ненулевую цифру, будет больше $0,12$ и (если оно не слишком большое) меньше $0,13$. Например, $0,121$, $0,125$, $0,129$.

Выберем периодическую дробь. Например, $0,12(3)$.

$0,12(3) = 0,123333...$

Проверим неравенство: $0,12 < 0,123333... < 0,13$. Неравенство верное.

Ответ: $0,12(3)$.