Номер 2, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 2, страница 42.

2 В пункте 1.6 вы доказали, что среднее арифметическое двух чисел не меньше их среднего геометрического: $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $. Докажите алгебраически, что:

а) среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше их среднего гармонического;

б) среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше их среднего арифметического.

а) среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше их среднего гармонического;

Пусть даны два положительных числа $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее геометрическое (СГ) этих чисел равно $G = \sqrt{ab}$.

Среднее гармоническое (СГарм) этих чисел равно $H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

Необходимо доказать неравенство: $\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

В условии задачи дано неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$.

Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то и числа $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ также являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}$

Упростим правую часть неравенства:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины от каждой части, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$

Это и есть доказываемое неравенство, которое показывает, что среднее геометрическое не меньше среднего гармонического. Равенство достигается, когда $\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$, то есть при $a=b$.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ для всех $a, b > 0$.

б) среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше их среднего арифметического.

Пусть даны два положительных числа $a > 0$ и $b > 0$.

Среднее квадратичное (СК) этих чисел равно $Q = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Среднее арифметическое (СА) этих чисел равно $A = \frac{a+b}{2}$.

Необходимо доказать неравенство: $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$.

Поскольку $a$ и $b$ положительны, обе части неравенства также положительны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{(a+b)^2}{4}$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(a^2+b^2) \geq a^2+2ab+b^2$

$2a^2+2b^2 \geq a^2+2ab+b^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2a^2+2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(a-b)^2 \geq 0$

Это неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $a-b=0$, то есть при $a=b$.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ для всех $a, b > 0$.