Номер 8, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 8, страница 40.

8 Придумайте два рациональных и два иррациональных числа, заключённые между числами $5$ и $5,1$.

Два рациональных числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Любая конечная или периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Нам необходимо найти два числа, которые больше 5, но меньше 5,1.

1. Выберем число 5,01. Это число удовлетворяет неравенству $5 < 5,01 < 5,1$. Его можно представить в виде дроби $501/100$, поэтому оно является рациональным.

2. Выберем число 5,08. Это число также удовлетворяет неравенству $5 < 5,08 < 5,1$. Его можно представить в виде дроби $508/100$ (или после сокращения $127/25$), поэтому оно также является рациональным.

Ответ: 5,01 и 5,08.

Два иррациональных числа

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $m/n$. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Чтобы найти иррациональные числа в заданном промежутке $(5; 5,1)$, удобно воспользоваться свойством квадратного корня. Если $a < b$ для положительных $a$ и $b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Мы ищем иррациональное число $x$ такое, что $5 < x < 5,1$. Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат:
$5^2 < x^2 < 5,1^2$
$25 < x^2 < 26,01$

Теперь достаточно выбрать любое число из интервала $(25; 26,01)$, которое не является полным квадратом, и извлечь из него квадратный корень. Полученное число будет иррациональным и будет лежать в искомом интервале.

1. Возьмем число 26. Оно лежит в интервале $(25; 26,01)$. Число $\sqrt{26}$ является иррациональным, и для него выполняется неравенство $\sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{26,01}$, то есть $5 < \sqrt{26} < 5,1$. Приблизительное значение: $\sqrt{26} \approx 5,099...$

2. Возьмем число 25,5. Оно также лежит в интервале $(25; 26,01)$. Число $\sqrt{25,5}$ является иррациональным, и для него выполняется неравенство $\sqrt{25} < \sqrt{25,5} < \sqrt{26,01}$, то есть $5 < \sqrt{25,5} < 5,1$. Приблизительное значение: $\sqrt{25,5} \approx 5,049...$

Ответ: $\sqrt{26}$ и $\sqrt{25,5}$.