Номер 9, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 9, страница 40.

Определите, может ли сумма:

а) двух периодических дробей быть непериодической;

б) двух непериодических дробей быть периодической;

в) двух периодических дробей быть периодической.

а) двух периодических дробей быть непериодической;

Любая периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Множество рациональных чисел замкнуто относительно операции сложения, это означает, что сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
Пусть у нас есть две периодические дроби, которые равны рациональным числам $r_1 = a/b$ и $r_2 = c/d$. Их сумма равна $r_1 + r_2 = a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)$. Так как $a, b, c, d$ — целые числа, то $ad+bc$ и $bd$ также являются целыми числами, а значит, их сумма — рациональное число.
Непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Так как сумма двух рациональных чисел всегда рациональна, она не может быть иррациональной. Следовательно, сумма двух периодических дробей не может быть непериодической дробью.

Ответ: не может.

б) двух непериодических дробей быть периодической;

Непериодическая десятичная дробь представляет иррациональное число. Периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Вопрос заключается в том, может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом. Да, может.
Рассмотрим простой пример. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, и его десятичное представление является непериодической дробью. Число $-\sqrt{2}$ также является иррациональным. Их сумма: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Число 0 является рациональным, и его можно представить в виде периодической дроби $0,000... = 0,(0)$.
Другой пример: число $\pi$ является непериодической дробью. Число $1 - \pi$ также является непериодической дробью (если бы оно было рациональным, то и $\pi$ было бы рациональным, что неверно). Их сумма равна $\pi + (1 - \pi) = 1$. Число 1 — рациональное, и его можно записать как периодическую дробь $1,(0)$ или $0,(9)$.
Таким образом, сумма двух непериодических дробей может быть периодической.

Ответ: может.

в) двух периодических дробей быть периодической.

Как было показано в пункте а), сумма двух периодических дробей (которые являются рациональными числами) всегда является рациональным числом. Любое рациональное число может быть представлено в виде либо конечной, либо периодической десятичной дроби. Конечную десятичную дробь можно считать частным случаем периодической (например, $0,5 = 0,5000... = 0,5(0)$). Следовательно, сумма двух периодических дробей всегда является периодической дробью.
Приведем пример: сложим две периодические дроби $0,(3)$ и $0,(1)$.
$0,(3) = 1/3$ и $0,(1) = 1/9$.
Их сумма равна $1/3 + 1/9 = 3/9 + 1/9 = 4/9$.
Чтобы перевести $4/9$ в десятичную дробь, разделим 4 на 9, получим $0,444... = 0,(4)$, что является периодической дробью.

Ответ: может.