Номер 6, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Переодические и непереодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 6, страница 40.

6 Представьте в виде обыкновенной дроби:

а) $0,111...$

б) $0,101010...$

в) $0,010101...$

а) Чтобы представить периодическую дробь $0,111...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим её через $x$:

$x = 0,111...$

Период этой дроби состоит из одной цифры (1). Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:

$10x = 1,111...$

Теперь вычтем из нового уравнения исходное, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:

$10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

б) Обозначим периодическую дробь $0,101010...$ через $x$:

$x = 0,101010...$

Период этой дроби состоит из двух цифр (10). Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 10,101010...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 10,101010... - 0,101010...$

$99x = 10$

Находим $x$:

$x = \frac{10}{99}$

Ответ: $\frac{10}{99}$

в) Обозначим периодическую дробь $0,010101...$ через $x$:

$x = 0,010101...$

Период этой дроби состоит из двух цифр (01). Умножим обе части уравнения на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 1,010101...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 1,010101... - 0,010101...$

$99x = 1$

Находим $x$:

$x = \frac{1}{99}$

Ответ: $\frac{1}{99}$