Номер 175, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

V. Элементы теории вероятностей. Тренировочные упражнения - номер 175, страница 316.

Условие.

175. Клумба имеет форму правильного треугольника со стороной 3 м. На клумбе выложен цветочный круг диаметром 1 м. Какова вероятность того, что случайно отмеченная точка треугольника окажется в круге?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что случайно отмеченная точка на клумбе-треугольнике окажется внутри цветочного круга, равна отношению площади круга к площади треугольника.

1. Найдем площадь правильного треугольника ($S_{треуг}$) со стороной $a = 3$ м. Формула площади правильного треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставляем значение стороны:$S_{треуг} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ м².

2. Найдем площадь цветочного круга ($S_{круга}$) с диаметром $d = 1$ м. Его радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ м. Формула площади круга: $S = \pi r^2$.
Подставляем значение радиуса:$S_{круга} = \pi \cdot (0.5)^2 = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$ м².

3. Найдем искомую вероятность $P$ как отношение площади круга к площади треугольника:$P = \frac{S_{круга}}{S_{треуг}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}}$.

Упрощая выражение, получаем:$P = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{4}{9\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9\sqrt{3}}$.

Для более стандартной формы ответа можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$P = \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9 \cdot 3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{27}$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{27}$.