Номер 173, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

V. Элементы теории вероятностей. Тренировочные упражнения - номер 173, страница 316.

Условие.

173. На перекладине с концами в точках $A$ и $B$ в точке $C$ сидит птица. Какова вероятность того, что другая птица сядет между серединами отрезков $AC$ и $BC$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической вероятности.

Пусть перекладина представляет собой отрезок $AB$ на числовой оси. Для удобства примем, что точка $A$ находится в начале координат (координата 0), а точка $B$ имеет координату $L$, где $L$ — это длина всей перекладины. Таким образом, множество всех возможных положений для второй птицы — это отрезок $[0, L]$, длина которого равна $L$.

Первая птица сидит в точке $C$, которая имеет некоторую координату $c$ на этом отрезке, то есть $0 \le c \le L$. Положение точки $C$ делит всю перекладину на два отрезка: $AC$ и $BC$.

Нам нужно найти вероятность того, что вторая птица сядет в интервал между серединами отрезков $AC$ и $BC$. Найдем координаты этих середин.

Отрезок $AC$ соответствует координатному интервалу $[0, c]$. Координата его середины $M_{AC}$ равна:
$x_{M_{AC}} = \frac{0 + c}{2} = \frac{c}{2}$

Отрезок $BC$ соответствует координатному интервалу $[c, L]$. Координата его середины $M_{BC}$ равна:
$x_{M_{BC}} = \frac{c + L}{2}$

Благоприятным исходом является событие, когда вторая птица садится в любую точку на отрезке между $M_{AC}$ и $M_{BC}$. Найдем длину этого отрезка (назовем его "благоприятный интервал"):
Длина = $x_{M_{BC}} - x_{M_{AC}} = \frac{c + L}{2} - \frac{c}{2} = \frac{c + L - c}{2} = \frac{L}{2}$

Таким образом, длина благоприятного интервала равна $\frac{L}{2}$. Важно отметить, что эта длина не зависит от того, где именно на перекладине сидит первая птица (то есть не зависит от значения $c$).

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего отрезка $AB$:
$P = \frac{\text{Длина благоприятного интервала}}{\text{Длина всего отрезка}} = \frac{L/2}{L} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$.