Номер 176, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

V. Элементы теории вероятностей. Тренировочные упражнения - номер 176, страница 316.

Условие.

176. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 м и 2 м. Какова вероятность того, что наугад взятая точка круга большего радиуса окажется в кольце, образованном этими окружностями?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение площади фигуры, попадание в которую является благоприятным исходом, к площади всей фигуры, в которую может попасть точка.

Пусть $R$ – радиус большей окружности и, соответственно, большего круга. По условию $R = 2$ м.

Пусть $r$ – радиус меньшей окружности и, соответственно, меньшего круга. По условию $r = 1$ м.

Общая область, в которой может оказаться наугад взятая точка, – это круг большего радиуса. Найдем его площадь $S_{R}$ по формуле площади круга $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$:

$S_{R} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ м².

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что точка окажется в кольце, образованном этими окружностями. Площадь этого кольца $S_{кольца}$ равна разности площадей большего и меньшего кругов.

Площадь меньшего круга $S_{r}$ равна:

$S_{r} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ м².

Теперь найдем площадь кольца:

$S_{кольца} = S_{R} - S_{r} = 4\pi - \pi = 3\pi$ м².

Вероятность $P$ того, что точка попадет в кольцо, равна отношению площади кольца к площади большого круга:

$P = \frac{S_{кольца}}{S_{R}} = \frac{3\pi}{4\pi}$

Сокращаем $\pi$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $0.75$