Номер 174, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

V. Элементы теории вероятностей. Тренировочные упражнения - номер 174, страница 316.

Условие.

174. В первом треугольнике содержится второй, подобный ему треугольник, периметр которого вдвое меньше. Какова вероятность того, что случайно отмеченная точка в первом треугольнике окажется и во втором треугольнике?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность того, что случайно выбранная точка из некоторой области попадет в ее подобласть, равна отношению площадей этих областей.

Пусть первый треугольник — это $T_1$, а второй — $T_2$. Пусть их площади равны $S_1$ и $S_2$, а периметры — $P_1$ и $P_2$ соответственно.

Вероятность $P$, что случайно отмеченная точка в первом треугольнике окажется и во втором, вычисляется как отношение площади второго треугольника к площади первого: $P = \frac{S_2}{S_1}$

По условию задачи, треугольники $T_1$ и $T_2$ подобны. Для подобных фигур отношение их периметров равно коэффициенту подобия $k$: $k = \frac{P_2}{P_1}$

Нам дано, что периметр второго треугольника вдвое меньше периметра первого, то есть $P_2 = \frac{1}{2} P_1$. Найдем коэффициент подобия: $k = \frac{\frac{1}{2} P_1}{P_1} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Подставим найденное значение коэффициента подобия $k = \frac{1}{2}$: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Таким образом, искомая вероятность равна отношению площадей, то есть $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$