Номер 10, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, изменяется по закону $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$, где $l_0 = 80$ м — длина покоящейся ракеты, $c = 3 \cdot 10^5$ км/с — скорость света, а $v$ — скорость ракеты (в км/с). Найдите скорость ракеты, если её наблюдаемая длина равна 64 м. Ответ дайте в км/с.

Для нахождения скорости ракеты $v$ воспользуемся формулой из условия задачи, которая описывает лоренцево сокращение длины: $l = l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

В данной формуле известны следующие величины:

• $l = 64$ м — наблюдаемая длина движущейся ракеты.
• $l_0 = 80$ м — длина покоящейся ракеты (собственная длина).
• $c = 3 \cdot 10^5$ км/с — скорость света.

Необходимо найти скорость ракеты $v$. Для этого подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $v$.

$64 = 80\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сначала выразим корень, разделив обе части уравнения на $80$: $\frac{64}{80} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сократим дробь в левой части: $\frac{64}{80} = \frac{4 \cdot 16}{5 \cdot 16} = \frac{4}{5} = 0.8$

Уравнение принимает вид: $0.8 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $(0.8)^2 = \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2$ $0.64 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Теперь выразим из уравнения член $\frac{v^2}{c^2}$: $\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.64$ $\frac{v^2}{c^2} = 0.36$

Далее выразим $v^2$: $v^2 = 0.36 \cdot c^2$

Чтобы найти скорость $v$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как скорость — величина неотрицательная, рассматриваем только арифметический корень: $v = \sqrt{0.36 \cdot c^2} = \sqrt{0.36} \cdot \sqrt{c^2} = 0.6 \cdot c$

Теперь, зная, что $c = 3 \cdot 10^5$ км/с, вычислим значение $v$: $v = 0.6 \cdot (3 \cdot 10^5 \text{ км/с}) = 1.8 \cdot 10^5 \text{ км/с}$

Это значение равно $180000$ км/с.

Ответ: $180000$ км/с.