Номер 11, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому P — мощность излучения звезды (в ваттах), вычисляется по формуле $P = \sigma ST^4$, где $\sigma = 5.7 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$ — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{2401} \cdot 10^{22} \text{ м}^2$, а мощность её излучения равна $5.7 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Для нахождения температуры звезды воспользуемся законом Стефана–Больцмана: $P = \sigma S T^4$.
В задаче даны следующие значения:
Мощность излучения звезды $P = 5,7 \cdot 10^{26}$ Вт.
Постоянная Стефана–Больцмана $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴).
Площадь поверхности звезды $S = \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}$ м².

Наша цель — найти температуру $T$. Для этого выразим $T$ из формулы. Сначала выразим $T^4$:
$T^4 = \frac{P}{\sigma S}$

Теперь, чтобы найти $T$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:
$T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:
$T = \sqrt[4]{\frac{5,7 \cdot 10^{26}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}}$

Упростим выражение под корнем. Сократим $5,7$ в числителе и знаменателе:
$T = \sqrt[4]{\frac{10^{26}}{10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}}$

Выполним умножение в знаменателе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^{-8} \cdot 10^{22} = 10^{-8+22} = 10^{14}$.
$T = \sqrt[4]{\frac{10^{26}}{\frac{1}{2401} \cdot 10^{14}}}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь $\frac{1}{2401}$ равносильно умножению на $2401$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{10^{26}}{10^{14}} = 10^{26-14} = 10^{12}$.
$T = \sqrt[4]{2401 \cdot 10^{12}}$

Для вычисления корня воспользуемся свойством $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$T = \sqrt[4]{2401} \cdot \sqrt[4]{10^{12}}$

Найдем значения корней по отдельности.
Заметим, что $7^4 = (7^2)^2 = 49^2 = 2401$. Следовательно, $\sqrt[4]{2401} = 7$.
По свойству корня из степени, $\sqrt[4]{10^{12}} = 10^{\frac{12}{4}} = 10^3$.

Перемножим полученные результаты:
$T = 7 \cdot 10^3 = 7000$

Температура звезды составляет 7000 кельвинов.

Ответ: 7000.