Страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

646. Найдите координаты точки, принадлежащей графику уравнения $x^2 - y^2 = 30$, если известно, что их сумма равна 5.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$. Согласно условию задачи, эти координаты должны удовлетворять системе из двух уравнений.

Первое уравнение следует из того, что точка принадлежит графику уравнения: $x^2 - y^2 = 30$.

Второе уравнение следует из того, что сумма координат точки равна 5: $x + y = 5$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 30 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Для решения системы используем формулу разности квадратов в первом уравнении: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$ (x - y)(x + y) = 30 $

Теперь подставим во второе уравнение значение $(x + y)$ из первого уравнения:

$ (x - y) \cdot 5 = 30 $

Найдем значение выражения $(x - y)$:

$ x - y = \frac{30}{5} $

$ x - y = 6 $

Теперь у нас есть новая система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$ (x + y) + (x - y) = 5 + 6 $

$ 2x = 11 $

$ x = \frac{11}{2} = 5.5 $

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 5$, чтобы найти $y$:

$ 5.5 + y = 5 $

$ y = 5 - 5.5 $

$ y = -0.5 $

Координаты искомой точки — $(5.5; -0.5)$.

Ответ: $(5.5; -0.5)$.

647. Решите неравенство:

a) $2x^2 - 13x - 34 \ge 0;$

б) $10x - 4x^2 < 0;$

в) $\frac{x-4}{2x+5} \le 0.$

а) $2x^2 - 13x - 34 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 13x - 34 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 2$, $b = -13$, $c = -34$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 169 + 272 = 441$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 21}{4} = \frac{34}{4} = 8.5$.

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 21}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Мы нашли корни квадратного трехчлена: $-2$ и $8.5$. Графиком функции $y = 2x^2 - 13x - 34$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 2 > 0$).

Следовательно, значения трехчлена не меньше нуля ($ \ge 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [8.5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [8.5, +\infty)$.

б) $10x - 4x^2 < 0$

Это также квадратичное неравенство. Удобнее переписать его в стандартном виде и изменить знак, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным.

$-4x^2 + 10x < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства на противоположный:

$4x^2 - 10x > 0$

Теперь найдем корни уравнения $4x^2 - 10x = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(2x - 5) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = 2.5$

Корни $0$ и $2.5$ разбивают числовую прямую на три интервала. Графиком функции $y = 4x^2 - 10x$ является парабола с ветвями вверх ($a = 4 > 0$).

Значения трехчлена больше нуля ($ > 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$.

в) $\frac{x-4}{2x+5} \le 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых знаменатель равен нулю): $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому точка $x = -2.5$ будет выколотой (не войдет в решение). Числитель может быть равен нулю, так как неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точка $x = 4$ войдет в решение.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

На интервале $(-\infty, -2.5)$ (например, при $x = -3$) выражение $\frac{x-4}{2x+5}$ равно $\frac{-7}{-1} = 7$, что больше нуля. Знак «+».

На интервале $(-2.5, 4]$ (например, при $x = 0$) выражение равно $\frac{-4}{5}$, что меньше нуля. Знак «−».

На интервале $[4, +\infty)$ (например, при $x = 5$) выражение равно $\frac{1}{15}$, что больше нуля. Знак «+».

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал, где знак «−», включая точку, где выражение равно нулю.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-2.5, 4]$.

Ответ: $(-2.5, 4]$.