Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

658. Найдите первый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_7 = 0,012$ и $q = 0,2$. Запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии.

Задача состоит из двух частей: найти первый член прогрессии и записать ее формулу. Решим их последовательно.

Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$)

Формула n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам даны седьмой член прогрессии $b_7 = 0.012$ и знаменатель $q = 0.2$.

Подставим известные значения в формулу для $n=7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$

$0.012 = b_1 \cdot (0.2)^6$

Сначала вычислим $(0.2)^6$:

$(0.2)^6 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.000064$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение и выразим $b_1$:

$0.012 = b_1 \cdot 0.000064$

$b_1 = \frac{0.012}{0.000064}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 1 000 000:

$b_1 = \frac{0.012 \cdot 1000000}{0.000064 \cdot 1000000} = \frac{12000}{64}$

Выполним деление:

$b_1 = 187.5$

Ответ: $b_1 = 187.5$.

Запишите формулу n-го члена этой прогрессии

Зная первый член $b_1 = 187.5$ и знаменатель $q = 0.2$, мы можем записать общую формулу для n-го члена данной прогрессии, подставив эти значения в стандартную формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Получаем формулу:

$b_n = 187.5 \cdot (0.2)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 187.5 \cdot (0.2)^{n-1}$.

659. Сократите дробь:

а) $\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n}$;

б) $\frac{25^n - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$.

а)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n}$, необходимо преобразовать числитель, вынеся за скобки общий множитель.

1. Воспользуемся свойствами степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и $a^{x-y} = a^x \cdot a^{-y}$ и представим каждый член числителя через множитель $2^n$:
$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^n$
$2^{n-2} = 2^n \cdot 2^{-2} = 2^n \cdot \frac{1}{4}$

2. Подставим полученные выражения в числитель дроби:
$\frac{4 \cdot 2^n - \frac{1}{4} \cdot 2^n}{2^n}$

3. Вынесем общий множитель $2^n$ в числителе за скобки:
$\frac{2^n (4 - \frac{1}{4})}{2^n}$

4. Сократим дробь на $2^n$ (так как $2^n$ не может быть равно нулю):
$4 - \frac{1}{4}$

5. Найдем значение выражения:
$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Ответ: $\frac{15}{4}$

б)

Для сокращения дроби $\frac{25^n - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$ приведем все степени к одному основанию.

1. Заметим, что основание $25$ можно представить как $5^2$. Тогда $25^n = (5^2)^n = 5^{2n}$.

2. Перепишем дробь с новым основанием:
$\frac{5^{2n} - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$

3. Как и в предыдущем примере, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общий множитель здесь $5^{2n}$. Используем свойство $a^{x-y} = a^x \cdot a^{-y}$:
$5^{2n-1} = 5^{2n} \cdot 5^{-1} = 5^{2n} \cdot \frac{1}{5}$

4. Вынесем $5^{2n}$ за скобки в числителе:
$\frac{5^{2n} (1 - \frac{1}{5})}{5^{2n}}$

5. Сократим дробь на $5^{2n}$:
$1 - \frac{1}{5}$

6. Вычислим результат:
$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

660. Решите неравенство:

а) $1,5x - x^2 \le 0$;

б) $x^2 + x + 6 > 0$.

а) Решим неравенство $1,5x - x^2 \le 0$.

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $1,5x - x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,5 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$1,5 - x_2 = 0 \implies x_2 = 1,5$

Теперь рассмотрим функцию $y = 1,5x - x^2$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=1,5$.

Нам необходимо найти те значения $x$, при которых функция принимает неположительные значения, то есть $y \le 0$. Так как ветви параболы направлены вниз, она будет ниже или на оси абсцисс за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух промежутков: $x \le 0$ и $x \ge 1,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1,5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + x + 6 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 6$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $x^2 + x + 6 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = x^2 + x + 6$ не пересекает ось абсцисс.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком расположена выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $x^2 + x + 6$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + x + 6 > 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

661. Какую фигуру задаёт на координатной плоскости система не-равенств

$\begin{cases} 3x - y \ge 0, \\ y - 5 \ge 0? \end{cases}$

Для того чтобы определить, какую фигуру задаёт на координатной плоскости данная система неравенств, мы рассмотрим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Исходная система неравенств:$\begin{cases}3x - y \ge 0, \\y - 5 \ge 0\end{cases}$

Сначала преобразуем неравенства к более удобному для анализа виду.

Первое неравенство, $3x - y \ge 0$, эквивалентно неравенству $y \le 3x$. Границей этой области является прямая $y = 3x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ с угловым коэффициентом 3. Само неравенство $y \le 3x$ задает полуплоскость, которая включает в себя прямую $y = 3x$ и все точки, лежащие ниже этой прямой.

Второе неравенство, $y - 5 \ge 0$, эквивалентно неравенству $y \ge 5$. Границей этой области является прямая $y = 5$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Неравенство $y \ge 5$ задает полуплоскость, которая включает в себя прямую $y=5$ и все точки, лежащие выше этой прямой.

Фигура, задаваемая системой неравенств, является пересечением этих двух полуплоскостей. То есть, мы ищем множество точек $(x,y)$ на координатной плоскости, для которых одновременно выполняются оба условия: $y \le 3x$ и $y \ge 5$.

Чтобы лучше представить эту фигуру, найдем точку пересечения ее граничных прямых $y = 3x$ и $y = 5$. Для этого решим систему уравнений:$\begin{cases}y = 3x, \\y = 5\end{cases}$

Подставив значение $y$ из второго уравнения в первое, получаем $5 = 3x$, откуда $x = \frac{5}{3}$.Следовательно, прямые пересекаются в точке с координатами $(\frac{5}{3}, 5)$.

Эта точка является вершиной искомой фигуры. Фигура ограничена двумя лучами, исходящими из этой вершины.

• Первый луч — это часть прямой $y = 5$, для которой выполняется условие $y \le 3x$. Подставив $y=5$, получаем $5 \le 3x$, или $x \ge \frac{5}{3}$. Это луч, начинающийся в точке $(\frac{5}{3}, 5)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=5$.
• Второй луч — это часть прямой $y = 3x$, для которой выполняется условие $y \ge 5$. Это луч, начинающийся в точке $(\frac{5}{3}, 5)$ и идущий вверх и вправо вдоль прямой $y=3x$.

Таким образом, фигура, заданная системой неравенств, представляет собой угол (бесконечную угловую область), включающий свои стороны.

Ответ: Данная система неравенств задает на координатной плоскости угол, вершина которого находится в точке $(\frac{5}{3}, 5)$, а стороны являются лучами, лежащими на прямых $y=5$ (при $x \ge \frac{5}{3}$) и $y=3x$ (при $x \ge \frac{5}{3}$).

Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность $(b_n)$, первый член которой отличен от нуля ($b_1 \neq 0$), а каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$, также не равное нулю ($q \neq 0$).

Это означает, что для любого натурального числа $n$ выполняется рекуррентное соотношение: $b_{n+1} = b_n \cdot q$

Число $q$ является постоянным для данной прогрессии и называется её знаменателем. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно знать её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Примеры:
1. Последовательность 3, 6, 12, 24, ... — это геометрическая прогрессия. Здесь первый член $b_1 = 3$, а каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Значит, знаменатель прогрессии $q = 2$.
2. Последовательность 8, -4, 2, -1, ... — это знакочередующаяся геометрическая прогрессия. Здесь первый член $b_1 = 8$, а знаменатель $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное для этой прогрессии число $q$, которое показывает, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего. Это число, на которое умножается каждый член последовательности для получения следующего.

Исходя из определения геометрической прогрессии ($b_{n+1} = b_n \cdot q$), знаменатель $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Знаменатель $q$ не может быть равен нулю ($q \neq 0$). От его величины и знака зависит поведение прогрессии:
• Если $|q| > 1$, прогрессия называется бесконечно большой (её члены по модулю неограниченно возрастают).
• Если $|q| < 1$, прогрессия называется бесконечно малой (её члены стремятся к нулю).
• Если $q = 1$, прогрессия является стационарной (все члены равны первому).
• Если $q < 0$, прогрессия является знакочередующейся (знаки её членов чередуются).

Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число $q$, равное отношению любого её члена к предшествующему ему члену ($q = b_{n+1} / b_n$).

2 Как выражается квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Чтобы выразить квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго) через предыдущий и последующий члены, воспользуемся определением геометрической прогрессии.

Пусть имеется геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:

• $b_{n-1}$ — предыдущий член
• $b_n$ — текущий член ($n \ge 2$)
• $b_{n+1}$ — последующий член

По определению геометрической прогрессии, каждый член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$:
1) $b_n = b_{n-1} \cdot q$
2) $b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из второго уравнения выразим знаменатель $q$ (при условии, что $b_n \ne 0$):
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Теперь подставим полученное выражение для $q$ в первое уравнение:
$b_n = b_{n-1} \cdot (\frac{b_{n+1}}{b_n})$

Умножим обе части этого равенства на $b_n$, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это и есть искомое выражение. Оно является характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Из этого также следует, что модуль любого члена является средним геометрическим его соседей: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Ответ: Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, что выражается формулой $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

3. Запишите формулы $n$-го члена и суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Формула $n$-го члена:

$b_n = b_1 q^{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, при $q \neq 1$

$S_n = n b_1$, при $q = 1$

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел $(b_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$, называемое знаменателем прогрессии. По условию, $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$.

Для записи формулы n-го члена $b_n$ используются следующие обозначения:
$b_1$ — первый член прогрессии;
$q$ — знаменатель прогрессии;
$n$ — порядковый номер искомого члена.

Чтобы вывести формулу, выразим несколько первых членов прогрессии через $b_1$ и $q$, используя рекуррентное соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$:
$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot q^{2-1}$
$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^{4-1}$
Можно заметить закономерность: чтобы найти член прогрессии с номером $n$, необходимо первый член $b_1$ умножить на знаменатель $q$ в степени $n-1$.

Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая $S_n$, представляет собой сумму $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$. Вывод и вид формулы зависят от значения знаменателя $q$.

Случай 1: Знаменатель $q = 1$.
Если знаменатель равен единице, то все члены прогрессии равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. В этом случае сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых $b_1$, и ее легко вычислить:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.

Случай 2: Знаменатель $q \ne 1$.
Запишем сумму, используя формулу n-го члена: $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$.
Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$: $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$.
Теперь вычтем из второго равенства первое. Большинство членов в правой части взаимно уничтожатся: $S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$.
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$.
Вынесем $b_1$ за скобки в правой части: $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.
Поскольку $q \ne 1$, то $q-1 \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $(q-1)$, чтобы выразить $S_n$.

Данную формулу также часто записывают в эквивалентном виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, который получается умножением числителя и знаменателя на -1. Эта форма особенно удобна для вычислений, когда $|q| < 1$.

Ответ:
При $q \ne 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
При $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$