Номер 1, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность $(b_n)$, первый член которой отличен от нуля ($b_1 \neq 0$), а каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$, также не равное нулю ($q \neq 0$).

Это означает, что для любого натурального числа $n$ выполняется рекуррентное соотношение: $b_{n+1} = b_n \cdot q$

Число $q$ является постоянным для данной прогрессии и называется её знаменателем. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно знать её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Примеры:
1. Последовательность 3, 6, 12, 24, ... — это геометрическая прогрессия. Здесь первый член $b_1 = 3$, а каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Значит, знаменатель прогрессии $q = 2$.
2. Последовательность 8, -4, 2, -1, ... — это знакочередующаяся геометрическая прогрессия. Здесь первый член $b_1 = 8$, а знаменатель $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное для этой прогрессии число $q$, которое показывает, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего. Это число, на которое умножается каждый член последовательности для получения следующего.

Исходя из определения геометрической прогрессии ($b_{n+1} = b_n \cdot q$), знаменатель $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии (начиная со второго) на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Знаменатель $q$ не может быть равен нулю ($q \neq 0$). От его величины и знака зависит поведение прогрессии:
• Если $|q| > 1$, прогрессия называется бесконечно большой (её члены по модулю неограниченно возрастают).
• Если $|q| < 1$, прогрессия называется бесконечно малой (её члены стремятся к нулю).
• Если $q = 1$, прогрессия является стационарной (все члены равны первому).
• Если $q < 0$, прогрессия является знакочередующейся (знаки её членов чередуются).

Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число $q$, равное отношению любого её члена к предшествующему ему члену ($q = b_{n+1} / b_n$).