Номер 666, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

666. Пусть $(b_n)$ — последовательность, в которой $b_1 = -3$, $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой $b_n = 3n^2 - 6$.

Для доказательства того, что последовательность $(b_n)$, заданная рекуррентно как $b_1 = -3$ и $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$, может быть задана формулой общего члена $b_n = 3n^2 - 6$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции

Проверим, является ли предложенная формула верной для первого члена последовательности, то есть для $n=1$.

Согласно условию задачи, $b_1 = -3$.

Теперь вычислим значение первого члена, используя формулу $b_n = 3n^2 - 6$ при $n=1$:

$b_1 = 3 \cdot 1^2 - 6 = 3 \cdot 1 - 6 = 3 - 6 = -3$.

Так как значение, вычисленное по формуле, совпадает со значением, данным в условии ($ -3 = -3$), база индукции верна.

2. Шаг индукции (Индукционный переход)

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы принимаем за истину, что $b_k = 3k^2 - 6$. Это наше индукционное предположение.

Теперь нам нужно доказать, что формула будет верна и для следующего члена последовательности, то есть для $n=k+1$. Мы должны показать, что $b_{k+1} = 3(k+1)^2 - 6$.

Для этого воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии задачи: $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$.

Подставим в это равенство наше индукционное предположение $b_k = 3k^2 - 6$:

$b_{k+1} = (3k^2 - 6) + 6k + 3$.

Упростим полученное выражение:

$b_{k+1} = 3k^2 + 6k - 3$.

Теперь преобразуем это выражение, чтобы привести его к виду $3(k+1)^2 - 6$. Для этого выделим слагаемые, необходимые для полного квадрата:

$b_{k+1} = 3k^2 + 6k + 3 - 3 - 3 = (3k^2 + 6k + 3) - 6$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$b_{k+1} = 3(k^2 + 2k + 1) - 6$.

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$.

Таким образом, мы получаем:

$b_{k+1} = 3(k+1)^2 - 6$.

Это в точности та формула, которую мы должны были доказать для $n=k+1$. Следовательно, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула $b_n = 3n^2 - 6$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Последовательность, заданная условиями $b_1 = -3$ и $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$, действительно может быть задана формулой $b_n = 3n^2 - 6$ для всех натуральных $n$.