Номер 664, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

664. Докажите, что при любом натуральном $n$ сумма

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

может быть вычислена по формуле $S_n = \frac{n}{n+1}$.

Доказательство:

Требуется доказать, что для любого натурального $n$ сумма $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ равна $\frac{n}{n+1}$.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на представлении каждого слагаемого в виде разности двух дробей. Рассмотрим общий член суммы, который имеет вид $\frac{1}{k(k+1)}$, где $k$ — натуральное число от 1 до $n$.

Покажем, что этот член можно представить в виде разности $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Для этого приведем разность к общему знаменателю: $$ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{1 \cdot (k+1) - 1 \cdot k}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)} $$ Тождество доказано. Таким образом, каждый член исходной суммы можно представить в виде разности: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.

Теперь перепишем исходную сумму $S_n$, заменив каждое слагаемое на соответствующую разность: $$ S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$

Такая сумма называется телескопической. Если раскрыть скобки, то все промежуточные члены взаимно уничтожатся: $$ S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$ Слагаемые $-\frac{1}{2}$ и $+\frac{1}{2}$ в сумме дают ноль, $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$ также сокращаются, и так далее, вплоть до пары $-\frac{1}{n}$ и $+\frac{1}{n}$.

В результате сокращения в сумме остаются только первый и последний члены: $$ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} $$ Приведем их к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1} $$

Таким образом, мы показали, что $S_n = \frac{n}{n+1}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ при любом натуральном $n$ действительно может быть вычислена по формуле $S_n = \frac{n}{n+1}$.