Номер 671, страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

671. Задайте формулой $n$-го члена последовательность ($a_n$), если:

a) ($a_n$) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;

б) ($a_n$) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

а) Последовательность $(a_n)$ состоит из натуральных чисел, кратных 5. Это означает, что каждый член последовательности делится на 5 без остатка. Выпишем первые несколько членов этой последовательности:
$a_1 = 5$
$a_2 = 10$
$a_3 = 15$
$a_4 = 20$
...
Мы видим, что каждый $n$-й член последовательности равен произведению числа 5 на номер этого члена $n$. Данная последовательность является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получим: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.
Таким образом, формула $n$-го члена данной последовательности: $a_n = 5n$.
Ответ: $a_n = 5n$

б) Последовательность $(a_n)$ состоит из натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Любое такое число можно представить в виде $5k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Выпишем первые несколько членов этой последовательности:
При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 1 = 1$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 1 = 6$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 1 = 16$
...
Получили последовательность: 1, 6, 11, 16, ... Эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее первый член и разность. Первый член $a_1 = 1$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения $a_1$ и $d$: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 5 = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$.
Таким образом, формула $n$-го члена данной последовательности: $a_n = 5n - 4$.
Ответ: $a_n = 5n - 4$