Номер 676, страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

676. Верно ли утверждение, что если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то:

а) последовательность $a_2$; $a_4$; \dots ; $a_{2n}$ \dots является арифметической прогрессией;

б) последовательность $a_1 - 1$; $a_2 - 1$; \dots ; $a_n - 1$; \dots является арифметической прогрессией;

в) последовательность $2a_1$; $2a_2$; \dots ; $2a_n$; \dots является арифметической прогрессией;

г) последовательность $a_1^2$; $a_2^2$; \dots ; $a_n^2$; \dots является арифметической прогрессией?

Для решения задачи воспользуемся определением арифметической прогрессии. Последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если существует такое число $d$ (разность прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Это эквивалентно тому, что разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной величиной. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

а) последовательность $a_2; a_4; ... ; a_{2n}$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(b_n)$, где $b_n = a_{2n}$. Ее члены — это $a_2, a_4, a_6, \dots, a_{2n}, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой новой последовательности: $b_{n+1} - b_n$.

Член $b_n$ — это $a_{2n}$. Следующий за ним член $b_{n+1}$ — это $a_{2(n+1)} = a_{2n+2}$.

Используя формулу n-го члена исходной прогрессии:

$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$

$a_{2n+2} = a_1 + (2n + 2 - 1)d = a_1 + (2n + 1)d$

Тогда разность равна:

$b_{n+1} - b_n = a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n + 1)d) - (a_1 + (2n - 1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.

Разность между соседними членами последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $2d$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d' = 2d$.

Ответ: да, является.

б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; ... ; a_n - 1;$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Ее члены — это $a_1-1, a_2-1, \dots, a_n-1, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $c_{n+1} - c_n$.

$c_n = a_n - 1$

$c_{n+1} = a_{n+1} - 1$

Разность равна:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.

Поскольку $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, разность $a_{n+1} - a_n$ постоянна и равна $d$.

Следовательно, $c_{n+1} - c_n = d$. Разность постоянна, значит, последовательность $(c_n)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

Ответ: да, является.

в) последовательность $2a_1; 2a_2; ... ; 2a_n;$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Ее члены — это $2a_1, 2a_2, \dots, 2a_n, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $k_{n+1} - k_n$.

$k_n = 2a_n$

$k_{n+1} = 2a_{n+1}$

Разность равна:

$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.

Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (постоянная величина), то разность для новой последовательности равна $2d$.

Разность $2d$ также является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $(k_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d' = 2d$.

Ответ: да, является.

г) последовательность $a_1^2; a_2^2; ... ; a_n^2;$ ... является арифметической прогрессией?

Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Ее члены — это $a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $p_{n+1} - p_n$.

$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.

Используем формулу разности квадратов: $a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n)$.

Мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Также $a_{n+1} = a_n + d$. Подставим эти выражения:

$p_{n+1} - p_n = d \cdot ((a_n + d) + a_n) = d(2a_n + d)$.

Эта разность зависит от члена $a_n$, который, в общем случае, не является постоянным (кроме случая, когда $d=0$). Если разность исходной прогрессии $d \neq 0$, то $a_n$ меняется с ростом $n$, и, следовательно, разность $d(2a_n+d)$ также меняется. Значит, в общем случае, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Приведем контрпример. Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, где $a_1 = 1$ и $d = 2$. Тогда последовательность имеет вид: $1, 3, 5, 7, \dots$.

Рассмотрим последовательность квадратов ее членов $(p_n)$: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$ или $1, 9, 25, 49, \dots$.

Найдем разности между соседними членами:

$p_2 - p_1 = 9 - 1 = 8$.

$p_3 - p_2 = 25 - 9 = 16$.

Так как $8 \neq 16$, разность не является постоянной. Следовательно, последовательность $(a_n^2)$ не является арифметической прогрессией.

Исключением является случай, когда $d=0$. Тогда $(a_n)$ — постоянная последовательность ($a, a, a, \dots$), и последовательность $(a_n^2)$ также постоянна ($a^2, a^2, a^2, \dots$), а значит, является арифметической прогрессией с разностью 0. Но так как вопрос стоит об общем утверждении для любой арифметической прогрессии, ответ — нет.

Ответ: нет, не является (в общем случае).