Страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

670. Вычислите первые пять членов последовательности ($c_n$), заданной формулой:

а) $c_n = -2n^2 + 7$;

б) $c_n = \frac{100}{n^2 - 5}$;

в) $c_n = -2.5 \cdot 2^n$;

г) $c_n = 3.2 \cdot 2^{-n}$;

д) $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4n}$;

е) $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2n + 1}$.

а) Для последовательности, заданной формулой $c_n = -2n^2 + 7$, найдем первые пять членов, подставляя значения $n$ от 1 до 5.

При $n=1$: $c_1 = -2 \cdot 1^2 + 7 = -2 \cdot 1 + 7 = -2 + 7 = 5$.

При $n=2$: $c_2 = -2 \cdot 2^2 + 7 = -2 \cdot 4 + 7 = -8 + 7 = -1$.

При $n=3$: $c_3 = -2 \cdot 3^2 + 7 = -2 \cdot 9 + 7 = -18 + 7 = -11$.

При $n=4$: $c_4 = -2 \cdot 4^2 + 7 = -2 \cdot 16 + 7 = -32 + 7 = -25$.

При $n=5$: $c_5 = -2 \cdot 5^2 + 7 = -2 \cdot 25 + 7 = -50 + 7 = -43$.

Ответ: 5; -1; -11; -25; -43.

б) Для последовательности, заданной формулой $c_n = \frac{100}{n^2 - 5}$, найдем первые пять членов.

При $n=1$: $c_1 = \frac{100}{1^2 - 5} = \frac{100}{1 - 5} = \frac{100}{-4} = -25$.

При $n=2$: $c_2 = \frac{100}{2^2 - 5} = \frac{100}{4 - 5} = \frac{100}{-1} = -100$.

При $n=3$: $c_3 = \frac{100}{3^2 - 5} = \frac{100}{9 - 5} = \frac{100}{4} = 25$.

При $n=4$: $c_4 = \frac{100}{4^2 - 5} = \frac{100}{16 - 5} = \frac{100}{11}$.

При $n=5$: $c_5 = \frac{100}{5^2 - 5} = \frac{100}{25 - 5} = \frac{100}{20} = 5$.

Ответ: -25; -100; 25; $\frac{100}{11}$; 5.

в) Для последовательности, заданной формулой $c_n = -2,5 \cdot 2^n$, найдем первые пять членов.

При $n=1$: $c_1 = -2,5 \cdot 2^1 = -2,5 \cdot 2 = -5$.

При $n=2$: $c_2 = -2,5 \cdot 2^2 = -2,5 \cdot 4 = -10$.

При $n=3$: $c_3 = -2,5 \cdot 2^3 = -2,5 \cdot 8 = -20$.

При $n=4$: $c_4 = -2,5 \cdot 2^4 = -2,5 \cdot 16 = -40$.

При $n=5$: $c_5 = -2,5 \cdot 2^5 = -2,5 \cdot 32 = -80$.

Ответ: -5; -10; -20; -40; -80.

г) Для последовательности, заданной формулой $c_n = 3,2 \cdot 2^{-n}$, найдем первые пять членов.

При $n=1$: $c_1 = 3,2 \cdot 2^{-1} = 3,2 \cdot \frac{1}{2} = 1,6$.

При $n=2$: $c_2 = 3,2 \cdot 2^{-2} = 3,2 \cdot \frac{1}{4} = 0,8$.

При $n=3$: $c_3 = 3,2 \cdot 2^{-3} = 3,2 \cdot \frac{1}{8} = 0,4$.

При $n=4$: $c_4 = 3,2 \cdot 2^{-4} = 3,2 \cdot \frac{1}{16} = 0,2$.

При $n=5$: $c_5 = 3,2 \cdot 2^{-5} = 3,2 \cdot \frac{1}{32} = 0,1$.

Ответ: 1,6; 0,8; 0,4; 0,2; 0,1.

д) Для последовательности, заданной формулой $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4n}$, найдем первые пять членов.

При $n=1$: $c_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{4 \cdot 1} = \frac{(-1)^0}{4} = \frac{1}{4}$.

При $n=2$: $c_2 = \frac{(-1)^{2-1}}{4 \cdot 2} = \frac{(-1)^1}{8} = -\frac{1}{8}$.

При $n=3$: $c_3 = \frac{(-1)^{3-1}}{4 \cdot 3} = \frac{(-1)^2}{12} = \frac{1}{12}$.

При $n=4$: $c_4 = \frac{(-1)^{4-1}}{4 \cdot 4} = \frac{(-1)^3}{16} = -\frac{1}{16}$.

При $n=5$: $c_5 = \frac{(-1)^{5-1}}{4 \cdot 5} = \frac{(-1)^4}{20} = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{12}$; $-\frac{1}{16}$; $\frac{1}{20}$.

е) Для последовательности, заданной формулой $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2n + 1}$, найдем первые пять членов.

При $n=1$: $c_1 = \frac{1 - (-1)^1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1 - (-1)}{3} = \frac{2}{3}$.

При $n=2$: $c_2 = \frac{1 - (-1)^2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1 - 1}{5} = \frac{0}{5} = 0$.

При $n=3$: $c_3 = \frac{1 - (-1)^3}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{1 - (-1)}{7} = \frac{2}{7}$.

При $n=4$: $c_4 = \frac{1 - (-1)^4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{1 - 1}{9} = \frac{0}{9} = 0$.

При $n=5$: $c_5 = \frac{1 - (-1)^5}{2 \cdot 5 + 1} = \frac{1 - (-1)}{11} = \frac{2}{11}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 0; $\frac{2}{7}$; 0; $\frac{2}{11}$.

671. Задайте формулой $n$-го члена последовательность ($a_n$), если:

a) ($a_n$) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;

б) ($a_n$) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

а) Последовательность $(a_n)$ состоит из натуральных чисел, кратных 5. Это означает, что каждый член последовательности делится на 5 без остатка. Выпишем первые несколько членов этой последовательности:
$a_1 = 5$
$a_2 = 10$
$a_3 = 15$
$a_4 = 20$
...
Мы видим, что каждый $n$-й член последовательности равен произведению числа 5 на номер этого члена $n$. Данная последовательность является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 5$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получим: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$.
Таким образом, формула $n$-го члена данной последовательности: $a_n = 5n$.
Ответ: $a_n = 5n$

б) Последовательность $(a_n)$ состоит из натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Любое такое число можно представить в виде $5k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Выпишем первые несколько членов этой последовательности:
При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 1 = 1$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 1 = 6$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 1 = 16$
...
Получили последовательность: 1, 6, 11, 16, ... Эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее первый член и разность. Первый член $a_1 = 1$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим значения $a_1$ и $d$: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 5 = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$.
Таким образом, формула $n$-го члена данной последовательности: $a_n = 5n - 4$.
Ответ: $a_n = 5n - 4$

672. Вычислите первые несколько членов последовательности $(y_n)$, если:

а) $y_1 = -3, y_{n+1} - y_n = 10;$

б) $y_1 = 10, y_{n+1} \cdot y_n = 2,5;$

в) $y_1 = 1,5, y_{n+1} - y_n = n;$

г) $y_1 = -4, y_{n+1} : y_n = -n^2.$

а) Последовательность задана первым членом $y_1 = -3$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} - y_n = 10$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n + 10$. Это означает, что каждый следующий член последовательности на 10 больше предыдущего. Данная последовательность является арифметической прогрессией.
Вычислим первые несколько членов:
$y_1 = -3$
$y_2 = y_1 + 10 = -3 + 10 = 7$
$y_3 = y_2 + 10 = 7 + 10 = 17$
$y_4 = y_3 + 10 = 17 + 10 = 27$
$y_5 = y_4 + 10 = 27 + 10 = 37$
Ответ: -3, 7, 17, 27, 37, ...

б) Последовательность задана первым членом $y_1 = 10$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} \cdot y_n = 2,5$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = \frac{2,5}{y_n}$.
Вычислим первые несколько членов:
$y_1 = 10$
$y_2 = \frac{2,5}{y_1} = \frac{2,5}{10} = 0,25$
$y_3 = \frac{2,5}{y_2} = \frac{2,5}{0,25} = 10$
$y_4 = \frac{2,5}{y_3} = \frac{2,5}{10} = 0,25$
$y_5 = \frac{2,5}{y_4} = \frac{2,5}{0,25} = 10$
Ответ: 10; 0,25; 10; 0,25; 10; ...

в) Последовательность задана первым членом $y_1 = 1,5$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} - y_n = n$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n + n$.
Вычислим первые несколько членов, последовательно подставляя $n=1, 2, 3, 4, ...$ :
$y_1 = 1,5$
При $n=1$: $y_2 = y_1 + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$
При $n=2$: $y_3 = y_2 + 2 = 2,5 + 2 = 4,5$
При $n=3$: $y_4 = y_3 + 3 = 4,5 + 3 = 7,5$
При $n=4$: $y_5 = y_4 + 4 = 7,5 + 4 = 11,5$
Ответ: 1,5; 2,5; 4,5; 7,5; 11,5; ...

г) Последовательность задана первым членом $y_1 = -4$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} : y_n = -n^2$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n \cdot (-n^2)$.
Вычислим первые несколько членов, последовательно подставляя $n=1, 2, 3, 4, ...$ :
$y_1 = -4$
При $n=1$: $y_2 = y_1 \cdot (-1^2) = -4 \cdot (-1) = 4$
При $n=2$: $y_3 = y_2 \cdot (-2^2) = 4 \cdot (-4) = -16$
При $n=3$: $y_4 = y_3 \cdot (-3^2) = -16 \cdot (-9) = 144$
При $n=4$: $y_5 = y_4 \cdot (-4^2) = 144 \cdot (-16) = -2304$
Ответ: -4, 4, -16, 144, -2304, ...

673. Найдите члены арифметической прогрессии $(a_n)$, обозначенные буквами:

a) $a_1$; $a_2$; $-19$; $-11.5$; $a_5$; $\dots$ ;

б) $a_1$; $-8.5$; $a_3$; $-4.5$; $a_5$; $a_6$; $\dots$ .

а) В данной арифметической прогрессии ($a_n$) известны третий и четвертый члены: $a_3 = -19$ и $a_4 = -11,5$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый следующий член от предыдущего. Её можно найти по формуле $d = a_{n+1} - a_n$.
Вычислим разность $d$, используя известные члены:
$d = a_4 - a_3 = -11,5 - (-19) = -11,5 + 19 = 7,5$.
Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти остальные неизвестные члены.
Член $a_2$ предшествует $a_3$, поэтому, чтобы его найти, нужно вычесть разность $d$ из $a_3$:
$a_2 = a_3 - d = -19 - 7,5 = -26,5$.
Аналогично находим $a_1$:
$a_1 = a_2 - d = -26,5 - 7,5 = -34$.
Член $a_5$ следует за $a_4$, поэтому, чтобы его найти, нужно прибавить разность $d$ к $a_4$:
$a_5 = a_4 + d = -11,5 + 7,5 = -4$.

Ответ: $a_1 = -34$; $a_2 = -26,5$; $a_5 = -4$.

б) В этой арифметической прогрессии ($a_n$) известны второй и четвертый члены: $a_2 = -8,5$ и $a_4 = -4,5$.
Поскольку известные члены не являются соседними, для нахождения разности $d$ воспользуемся общей формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_k + (n-k)d$.
Применим эту формулу для $a_4$ и $a_2$:
$a_4 = a_2 + (4-2)d$
Подставим известные значения и решим уравнение относительно $d$:
$-4,5 = -8,5 + 2d$
$2d = -4,5 - (-8,5)$
$2d = -4,5 + 8,5$
$2d = 4$
$d = 2$.
Теперь, зная разность $d=2$, найдем неизвестные члены.
Найдем $a_1$:
$a_1 = a_2 - d = -8,5 - 2 = -10,5$.
Найдем $a_3$:
$a_3 = a_2 + d = -8,5 + 2 = -6,5$.
Найдем $a_5$:
$a_5 = a_4 + d = -4,5 + 2 = -2,5$.
Найдем $a_6$:
$a_6 = a_5 + d = -2,5 + 2 = -0,5$.

Ответ: $a_1 = -10,5$; $a_3 = -6,5$; $a_5 = -2,5$; $a_6 = -0,5$.

674. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон?

Пусть длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Мы можем представить эти длины как $a-d$, $a$ и $a+d$, где $a$ - средняя по величине сторона, а $d$ - разность прогрессии.

Периметр треугольника $P$ - это сумма длин его сторон: $P = (a-d) + a + (a+d)$

Упростив выражение, мы видим, что разность $d$ сокращается: $P = 3a$

По условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу: $24 = 3a$

Отсюда мы можем однозначно найти длину средней стороны $a$: $a = \frac{24}{3} = 8$ см.

Таким образом, независимо от разности прогрессии, длина одной из сторон треугольника всегда будет равна 8 см.

Ответ: Да, можно. Длина одной из сторон равна 8 см.

Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Мы уже знаем, что стороны треугольника можно записать как $8-d$, $8$ и $8+d$, где $d$ - разность прогрессии. Поскольку по условию длины сторон являются целыми числами, то и разность $d$ должна быть целым числом. Для удобства будем считать $d \ge 0$, так как отрицательное $d$ просто поменяет порядок сторон в прогрессии.

Чтобы эти три отрезка могли образовать треугольник, они должны удовлетворять двум условиям:

1. Длины всех сторон должны быть положительными. Так как мы приняли $d \ge 0$, стороны $8$ и $8+d$ всегда положительны. Нужно лишь убедиться, что самая короткая сторона больше нуля: $8 - d > 0$ $d < 8$

2. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить для суммы двух меньших сторон и большей стороны: $(8-d) + 8 > 8+d$ $16 - d > 8+d$ $8 > 2d$ $d < 4$

Мы получили два ограничения на целое неотрицательное число $d$: $d < 8$ и $d < 4$. Наиболее строгим является второе условие, $d < 4$. Следовательно, возможные целые значения для $d$ это 0, 1, 2, 3.

Теперь найдем наборы длин сторон для каждого возможного значения $d$:

• Если $d=0$, стороны равны: $8-0=8$, $8$, $8+0=8$. Набор: (8, 8, 8).
• Если $d=1$, стороны равны: $8-1=7$, $8$, $8+1=9$. Набор: (7, 8, 9).
• Если $d=2$, стороны равны: $8-2=6$, $8$, $8+2=10$. Набор: (6, 8, 10).
• Если $d=3$, стороны равны: $8-3=5$, $8$, $8+3=11$. Набор: (5, 8, 11).

Если бы мы взяли $d=4$, то получили бы стороны (4, 8, 12), для которых не выполняется неравенство треугольника ($4+8=12$), такой треугольник называется вырожденным.

Ответ: Длины сторон треугольника могут принимать следующие наборы целых значений (в сантиметрах): (8, 8, 8), (7, 8, 9), (6, 8, 10) и (5, 8, 11).

675. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что один из них равен $60^\circ$.

Пусть три угла треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обозначим эти углы как $ \alpha_1, \alpha_2 $ и $ \alpha_3 $.

По свойству арифметической прогрессии, состоящей из трех членов, их можно представить в виде $ a-d, a, a+d $, где $ a $ — средний член прогрессии, а $ d $ — ее разность.

Итак, пусть:
$ \alpha_1 = a - d $
$ \alpha_2 = a $
$ \alpha_3 = a + d $

Сумма углов в любом треугольнике постоянна и равна $ 180^\circ $. Составим и решим уравнение, используя это свойство:

$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ $

Подставим в это уравнение наши выражения для углов:

$ (a - d) + a + (a + d) = 180^\circ $

Упростим левую часть уравнения. Взаимно противоположные члены $ -d $ и $ +d $ сокращаются:

$ a - d + a + a + d = 180^\circ $
$ 3a = 180^\circ $

Теперь найдем значение $ a $:

$ a = \frac{180^\circ}{3} $
$ a = 60^\circ $

Мы выяснили, что средний по величине угол треугольника ($ \alpha_2 = a $) равен $ 60^\circ $. Таким образом, доказано, что один из углов треугольника, углы которого образуют арифметическую прогрессию, всегда равен $ 60^\circ $, что и требовалось доказать.

Ответ: Один из углов треугольника равен $60^\circ$.

676. Верно ли утверждение, что если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то:

а) последовательность $a_2$; $a_4$; \dots ; $a_{2n}$ \dots является арифметической прогрессией;

б) последовательность $a_1 - 1$; $a_2 - 1$; \dots ; $a_n - 1$; \dots является арифметической прогрессией;

в) последовательность $2a_1$; $2a_2$; \dots ; $2a_n$; \dots является арифметической прогрессией;

г) последовательность $a_1^2$; $a_2^2$; \dots ; $a_n^2$; \dots является арифметической прогрессией?

Для решения задачи воспользуемся определением арифметической прогрессии. Последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если существует такое число $d$ (разность прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Это эквивалентно тому, что разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной величиной. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

а) последовательность $a_2; a_4; ... ; a_{2n}$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(b_n)$, где $b_n = a_{2n}$. Ее члены — это $a_2, a_4, a_6, \dots, a_{2n}, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой новой последовательности: $b_{n+1} - b_n$.

Член $b_n$ — это $a_{2n}$. Следующий за ним член $b_{n+1}$ — это $a_{2(n+1)} = a_{2n+2}$.

Используя формулу n-го члена исходной прогрессии:

$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$

$a_{2n+2} = a_1 + (2n + 2 - 1)d = a_1 + (2n + 1)d$

Тогда разность равна:

$b_{n+1} - b_n = a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n + 1)d) - (a_1 + (2n - 1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.

Разность между соседними членами последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $2d$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d' = 2d$.

Ответ: да, является.

б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; ... ; a_n - 1;$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Ее члены — это $a_1-1, a_2-1, \dots, a_n-1, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $c_{n+1} - c_n$.

$c_n = a_n - 1$

$c_{n+1} = a_{n+1} - 1$

Разность равна:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.

Поскольку $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, разность $a_{n+1} - a_n$ постоянна и равна $d$.

Следовательно, $c_{n+1} - c_n = d$. Разность постоянна, значит, последовательность $(c_n)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

Ответ: да, является.

в) последовательность $2a_1; 2a_2; ... ; 2a_n;$ ... является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Ее члены — это $2a_1, 2a_2, \dots, 2a_n, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $k_{n+1} - k_n$.

$k_n = 2a_n$

$k_{n+1} = 2a_{n+1}$

Разность равна:

$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.

Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (постоянная величина), то разность для новой последовательности равна $2d$.

Разность $2d$ также является постоянной величиной. Следовательно, последовательность $(k_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d' = 2d$.

Ответ: да, является.

г) последовательность $a_1^2; a_2^2; ... ; a_n^2;$ ... является арифметической прогрессией?

Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Ее члены — это $a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2, \dots$.

Найдем разность между двумя соседними членами этой последовательности: $p_{n+1} - p_n$.

$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.

Используем формулу разности квадратов: $a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n)$.

Мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Также $a_{n+1} = a_n + d$. Подставим эти выражения:

$p_{n+1} - p_n = d \cdot ((a_n + d) + a_n) = d(2a_n + d)$.

Эта разность зависит от члена $a_n$, который, в общем случае, не является постоянным (кроме случая, когда $d=0$). Если разность исходной прогрессии $d \neq 0$, то $a_n$ меняется с ростом $n$, и, следовательно, разность $d(2a_n+d)$ также меняется. Значит, в общем случае, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Приведем контрпример. Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, где $a_1 = 1$ и $d = 2$. Тогда последовательность имеет вид: $1, 3, 5, 7, \dots$.

Рассмотрим последовательность квадратов ее членов $(p_n)$: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$ или $1, 9, 25, 49, \dots$.

Найдем разности между соседними членами:

$p_2 - p_1 = 9 - 1 = 8$.

$p_3 - p_2 = 25 - 9 = 16$.

Так как $8 \neq 16$, разность не является постоянной. Следовательно, последовательность $(a_n^2)$ не является арифметической прогрессией.

Исключением является случай, когда $d=0$. Тогда $(a_n)$ — постоянная последовательность ($a, a, a, \dots$), и последовательность $(a_n^2)$ также постоянна ($a^2, a^2, a^2, \dots$), а значит, является арифметической прогрессией с разностью 0. Но так как вопрос стоит об общем утверждении для любой арифметической прогрессии, ответ — нет.

Ответ: нет, не является (в общем случае).