Страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

711. Сумму первых $n$ членов последовательности $(x_n)$ можно найти по формуле

$S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1).$

Докажите, что последовательность $(x_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Для решения задачи воспользуемся связью между n-м членом последовательности $x_n$ и суммой первых n членов $S_n$. Дана формула для суммы: $S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1)$.

Докажите, что последовательность $(x_n)$ — геометрическая прогрессия.

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо найти ее n-й член $x_n$ и показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянным числом (это число будет знаменателем прогрессии $q$).

N-й член последовательности можно найти как разность суммы $n$ членов и суммы $n-1$ членов: $x_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$).

Выразим $S_{n-1}$, подставив $n-1$ в исходную формулу: $S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$.

Теперь найдем общую формулу для члена $x_n$: $x_n = S_n - S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$ $x_n = \frac{3}{4}((5^n - 1) - (5^{n-1} - 1)) = \frac{3}{4}(5^n - 1 - 5^{n-1} + 1)$ $x_n = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1})$

Вынесем общий множитель $5^{n-1}$ за скобки, чтобы упростить выражение: $x_n = \frac{3}{4}(5 \cdot 5^{n-1} - 5^{n-1}) = \frac{3}{4}(5^{n-1}(5 - 1)) = \frac{3}{4}(5^{n-1} \cdot 4)$ $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

Мы получили формулу для n-го члена последовательности: $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Теперь найдем отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$: $\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^1 = 5$.

Так как отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$ является постоянной величиной, равной 5, для любого $n \ge 2$, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией.

Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Из предыдущего пункта мы установили, что знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 5.

Первый член прогрессии $x_1$ равен сумме первого члена, то есть $x_1 = S_1$. Найдем его, подставив $n=1$ в исходную формулу для суммы: $x_1 = S_1 = \frac{3}{4}(5^1 - 1) = \frac{3}{4}(4) = 3$.

Мы можем проверить, что найденная общая формула $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$ дает тот же результат для $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Значения совпадают, что подтверждает корректность наших вычислений.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией; ее первый член $x_1 = 3$, а знаменатель $q = 5$.

712. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна $\frac{11}{64}$, а сумма следующих пяти членов равна $-5\frac{1}{2}$. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Всего в прогрессии 15 членов.

Условия задачи можно сгруппировать по суммам пяти последовательных членов:

1. Сумма первых пяти членов (с 1-го по 5-й):
$S_{1-5} = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{11}{64}$.

2. Сумма следующих пяти членов (с 6-го по 10-й):
$S_{6-10} = b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$.

3. Сумма последних пяти членов (с 11-го по 15-й), которую необходимо найти:
$S_{11-15} = b_{11} + b_{12} + b_{13} + b_{14} + b_{15}$.

Выразим связь между этими суммами. Каждый член в группе $S_{6-10}$ можно получить, умножив соответствующий член из группы $S_{1-5}$ на $q^5$. Например, $b_6 = b_1 \cdot q^5$, $b_7 = b_2 \cdot q^5$, и так далее.

Таким образом, сумма $S_{6-10}$ связана с $S_{1-5}$ следующим образом:
$S_{6-10} = b_1q^5 + b_2q^5 + \dots + b_5q^5 = q^5(b_1 + b_2 + \dots + b_5) = q^5 \cdot S_{1-5}$.

Аналогично, каждый член в группе $S_{11-15}$ можно получить, умножив соответствующий член из группы $S_{6-10}$ на $q^5$.
$S_{11-15} = b_6q^5 + b_7q^5 + \dots + b_{10}q^5 = q^5(b_6 + b_7 + \dots + b_{10}) = q^5 \cdot S_{6-10}$.

Это означает, что суммы $S_{1-5}$, $S_{6-10}$ и $S_{11-15}$ сами образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $Q = q^5$.

Найдем этот новый знаменатель $Q$, используя известные суммы:

$Q = \frac{S_{6-10}}{S_{1-5}} = \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{11}{64}} = -\frac{11}{2} \cdot \frac{64}{11} = -\frac{64}{2} = -32$.

Теперь мы можем найти искомую сумму $S_{11-15}$, зная, что она является следующим членом этой новой прогрессии:

$S_{11-15} = S_{6-10} \cdot Q = \left(-\frac{11}{2}\right) \cdot (-32) = \frac{11 \cdot 32}{2} = 11 \cdot 16 = 176$.

Ответ: 176

713. Упростите выражение, применив формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

а) $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$, где $x \neq 1$ и $x \neq 0$;

б) $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$, где $x \neq -1$ и $x \neq 0$.

а)

Данное выражение $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$ представляет собой сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{x}{1} = x$.
• Количество членов прогрессии $n = 5$.

По условию $x \neq 1$, поэтому знаменатель $q \neq 1$, и мы можем применить формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$, $q = x$ и $n = 5$ в формулу:

$S_5 = \frac{1 \cdot (x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Ответ: $\frac{x^5 - 1}{x - 1}$

б)

Данное выражение $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$ можно представить как $1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + (-x)^6$. Это сумма первых семи членов геометрической прогрессии.

Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-x}{1} = -x$.
• Количество членов прогрессии $n = 7$.

По условию $x \neq -1$, следовательно, знаменатель $q = -x \neq 1$, и мы можем применить формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$, $q = -x$ и $n = 7$ в формулу:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-x)^7 - 1)}{(-x) - 1}$

Упростим полученное выражение. Так как степень 7 нечетная, $(-x)^7 = -x^7$.

$S_7 = \frac{-x^7 - 1}{-x - 1} = \frac{-(x^7 + 1)}{-(x + 1)} = \frac{x^7 + 1}{x + 1}$

Ответ: $\frac{x^7 + 1}{x + 1}$