Номер 713, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

713. Упростите выражение, применив формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

а) $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$, где $x \neq 1$ и $x \neq 0$;

б) $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$, где $x \neq -1$ и $x \neq 0$.

а)

Данное выражение $1 + x + x^2 + x^3 + x^4$ представляет собой сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{x}{1} = x$.
• Количество членов прогрессии $n = 5$.

По условию $x \neq 1$, поэтому знаменатель $q \neq 1$, и мы можем применить формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$, $q = x$ и $n = 5$ в формулу:

$S_5 = \frac{1 \cdot (x^5 - 1)}{x - 1} = \frac{x^5 - 1}{x - 1}$

Ответ: $\frac{x^5 - 1}{x - 1}$

б)

Данное выражение $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$ можно представить как $1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + (-x)^6$. Это сумма первых семи членов геометрической прогрессии.

Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-x}{1} = -x$.
• Количество членов прогрессии $n = 7$.

По условию $x \neq -1$, следовательно, знаменатель $q = -x \neq 1$, и мы можем применить формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1$, $q = -x$ и $n = 7$ в формулу:

$S_7 = \frac{1 \cdot ((-x)^7 - 1)}{(-x) - 1}$

Упростим полученное выражение. Так как степень 7 нечетная, $(-x)^7 = -x^7$.

$S_7 = \frac{-x^7 - 1}{-x - 1} = \frac{-(x^7 + 1)}{-(x + 1)} = \frac{x^7 + 1}{x + 1}$

Ответ: $\frac{x^7 + 1}{x + 1}$