Номер 715, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

715. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Укажите все возможные варианты выбора подруг.

Для того чтобы найти все возможные варианты, необходимо составить все уникальные пары из пяти подруг: Веры, Зои, Марины, Полины и Светланы. Порядок в паре не имеет значения (Вера и Зоя — это тот же вариант, что и Зоя и Вера).

Систематически перечислим все пары:

1. Пары с Верой: Вера и Зоя, Вера и Марина, Вера и Полина, Вера и Светлана. (4 варианта)

2. Пары с Зоей (исключая уже названную пару с Верой): Зоя и Марина, Зоя и Полина, Зоя и Светлана. (3 варианта)

3. Пары с Мариной (исключая пары с Верой и Зоей): Марина и Полина, Марина и Светлана. (2 варианта)

4. Оставшаяся пара с Полиной: Полина и Светлана. (1 вариант)

Ответ: Вера и Зоя; Вера и Марина; Вера и Полина; Вера и Светлана; Зоя и Марина; Зоя и Полина; Зоя и Светлана; Марина и Полина; Марина и Светлана; Полина и Светлана.

Сколько таких вариантов?

Для подсчета общего количества вариантов можно сложить количество пар, найденных на каждом шаге: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Также можно использовать формулу из комбинаторики для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов, так как порядок выбора подруг не важен. Формула имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее число подруг $n=5$, а выбрать нужно $k=2$ подруги.

Подставим значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Более простой способ расчета:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10.