Номер 710, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

710. В геометрической прогрессии ( $x_n$ ):

a) $q = -\frac{1}{3}$, $n = 5$, $S_n = 20\frac{1}{3}$; найдите $x_1$ и $x_n$;

б) $x_1 = 11$, $x_n = 88$, $S_n = 165$; найдите $q$ и $n$;

в) $x_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{2}$, $S_n = \frac{21}{64}$; найдите $n$ и $x_n$;

г) $q = \sqrt{3}$, $x_n = 18\sqrt{3}$, $S_n = 26\sqrt{3} + 24$; найдите $x_1$ и $n$.

а) Дано: знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$, число членов $n = 5$, сумма $S_5 = 20\frac{1}{3} = \frac{61}{3}$.
Для нахождения первого члена прогрессии $x_1$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения в формулу:
$S_5 = \frac{x_1((-\frac{1}{3})^5 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{x_1(-\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{x_1(-\frac{244}{243})}{-\frac{4}{3}}$
$\frac{61}{3} = x_1 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = x_1 \cdot \frac{61 \cdot 4}{81 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4} = x_1 \cdot \frac{61}{81}$
Отсюда выражаем и находим $x_1$:
$x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{81}{61} = \frac{81}{3} = 27$.
Теперь найдем $n$-й член прогрессии $x_n = x_5$ по формуле $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$x_5 = x_1 q^{5-1} = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = 27$, $x_n = \frac{1}{3}$.

б) Дано: первый член $x_1 = 11$, $n$-й член $x_n = 88$, сумма $S_n = 165$.
Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой суммы, связывающей первый и последний члены: $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$165 = \frac{88q - 11}{q - 1}$
$165(q - 1) = 88q - 11$
$165q - 165 = 88q - 11$
$165q - 88q = 165 - 11$
$77q = 154$
$q = \frac{154}{77} = 2$.
Теперь найдем число членов $n$ по формуле $n$-го члена $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$88 = 11 \cdot 2^{n-1}$
$8 = 2^{n-1}$
Так как $8 = 2^3$, то $2^3 = 2^{n-1}$, откуда $3 = n-1$ и $n = 4$.
Ответ: $q = 2$, $n = 4$.

в) Дано: первый член $x_1 = \frac{1}{2}$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$, сумма $S_n = \frac{21}{64}$.
Для нахождения числа членов $n$ воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$\frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)$
$-\frac{63}{64} = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$(-\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$
Так как $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^6 = (-\frac{1}{2})^6$. Следовательно, $n=6$.
Теперь найдем $n$-й член прогрессии $x_n = x_6$ по формуле $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$x_6 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{1}{64}$.
Ответ: $n = 6$, $x_n = -\frac{1}{64}$.

г) Дано: знаменатель $q = \sqrt{3}$, $n$-й член $x_n = 18\sqrt{3}$, сумма $S_n = 26\sqrt{3} + 24$.
Для нахождения первого члена $x_1$ воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{x_n q - x_1}{q - 1}$.
Подставим известные значения:
$26\sqrt{3} + 24 = \frac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{18 \cdot 3 - x_1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{54 - x_1}{\sqrt{3} - 1}$
$(26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3} - 1) = 54 - x_1$
$26\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$
$78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1$
$54 - 2\sqrt{3} = 54 - x_1$
Отсюда $x_1 = 2\sqrt{3}$.
Теперь найдем число членов $n$ по формуле $n$-го члена $x_n = x_1 q^{n-1}$:
$18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}$
$9 = (\sqrt{3})^{n-1}$
Так как $9 = 3^2 = ((\sqrt{3})^2)^2 = (\sqrt{3})^4$, то $(\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3})^{n-1}$, откуда $4 = n-1$ и $n=5$.
Ответ: $x_1 = 2\sqrt{3}$, $n = 5$.