Номер 703, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

703. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

Да, такие числа существуют. Проанализируем условия, которым должны удовлетворять эти числа.

Пусть искомые три числа — это $a$, $b$ и $c$.

1. Если числа образуют арифметическую прогрессию.

По определению арифметической прогрессии, разность между соседними членами постоянна. Это можно выразить с помощью характеристического свойства: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей. Для наших трех чисел это означает:

$b = \frac{a+c}{2}$

Из этого равенства следует:

$2b = a + c$ (1)

2. Если числа образуют геометрическую прогрессию.

По определению геометрической прогрессии, отношение соседних членов постоянно. Характеристическое свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей. Для наших трех чисел это означает:

$b^2 = ac$ (2)

Чтобы найти числа, которые удовлетворяют обоим условиям, решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} 2b = a + c \\ b^2 = ac \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $c$:

$c = 2b - a$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:

$b^2 = a(2b - a)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$b^2 = 2ab - a^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Мы получили формулу полного квадрата разности:

$(a - b)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение:

$a - b = 0 \implies a = b$

Теперь подставим результат $a=b$ обратно в первое уравнение системы ($2b = a + c$):

$2a = a + c$

$c = 2a - a \implies c = a$

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три числа должны быть равны друг другу: $a = b = c$.

Проверим этот вывод. Пусть три числа равны, например, $k, k, k$.

Являются ли они арифметической прогрессией? Да, разность такой прогрессии $d = k - k = 0$.

Являются ли они геометрической прогрессией? Да. Если $k \neq 0$, то знаменатель прогрессии $q = k/k = 1$. Если $k=0$, то последовательность $0, 0, 0$ также является геометрической, так как выполняется свойство $b^2 = ac$ ($0^2 = 0 \cdot 0$).

Следовательно, три числа составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда эти три числа равны.

Ответ: Да, существуют. Это возможно в том случае, если все три числа равны между собой (например, последовательность 5, 5, 5).