Номер 699, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

699. Является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, если сумму первых $n$ её членов можно найти по формуле $S_n = n^2 - 8n$? Найдите пятый член этой последовательности.

Для ответа на поставленные вопросы нам необходимо сначала найти формулу для $n$-го члена последовательности $(x_n)$.

Сумма первых $n$ членов последовательности, $S_n$, и ее $n$-й член, $x_n$, связаны соотношением $x_n = S_n - S_{n-1}$ для всех $n \ge 2$. Первый член последовательности равен сумме первого члена, то есть $x_1 = S_1$.

В нашей задаче формула для суммы имеет вид: $S_n = n^2 - 8n$.

Является ли последовательность ($x_n$) арифметической прогрессией?

1. Найдем первый член последовательности $x_1$:
$x_1 = S_1 = 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

2. Найдем формулу для $n$-го члена $x_n$ при $n \ge 2$:
Для этого нам понадобится $S_{n-1}$:
$S_{n-1} = (n-1)^2 - 8(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (8n - 8) = n^2 - 2n + 1 - 8n + 8 = n^2 - 10n + 9$.
Теперь найдем $x_n$:
$x_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 8n) - (n^2 - 10n + 9) = n^2 - 8n - n^2 + 10n - 9 = 2n - 9$.

3. Проверим, подходит ли полученная формула $x_n = 2n - 9$ для $n=1$:
$x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = 2 - 9 = -7$.
Значение совпало, следовательно, формула $x_n = 2n - 9$ верна для всех натуральных $n$.

4. Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной (эта величина называется разностью прогрессии $d$).
$d = x_{n+1} - x_n$.
Найдем $x_{n+1}$:
$x_{n+1} = 2(n+1) - 9 = 2n + 2 - 9 = 2n - 7$.
Вычислим разность:
$d = (2n - 7) - (2n - 9) = 2n - 7 - 2n + 9 = 2$.
Разность $d=2$ не зависит от $n$ и является постоянной. Это доказывает, что последовательность $(x_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -7$ и разностью $d=2$.

Ответ: Да, является.

Найдите пятый член этой последовательности.

Для нахождения пятого члена последовательности $x_5$ можно использовать найденную формулу $x_n = 2n - 9$, подставив $n=5$:
$x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$.

Также можно найти $x_5$ через разность сумм $S_5$ и $S_4$:
$S_5 = 5^2 - 8 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$.
$S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16$.
$x_5 = S_5 - S_4 = -15 - (-16) = -15 + 16 = 1$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.