Номер 694, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

694. Упростите выражение:

a) $\frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}}$;

б) $\frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}$.

а) Упростим выражение $ \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}} $.
Для этого воспользуемся свойством степени $ a^m \cdot a^k = a^{m+k} $ и $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.
Сначала преобразуем числитель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ натуральных чисел: $ 1 + 2 + 3 + \ldots + n $. Это арифметическая прогрессия, сумма которой вычисляется по формуле $ S_n = \frac{n(n+1)}{2} $.
Таким образом, числитель равен $ x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Теперь преобразуем знаменатель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ нечетных чисел: $ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) $. Сумма этой арифметической прогрессии равна $ n^2 $.
Таким образом, знаменатель равен $ x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)} = x^{n^2} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:
$ \frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2} - n^2} = x^{\frac{n^2+n}{2} - \frac{2n^2}{2}} = x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} $.
Ответ: $ x^{\frac{n-n^2}{2}} $

б) Упростим выражение $ \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n} $.
Преобразуем числитель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ четных чисел: $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n $. Эту сумму можно представить как $ 2(1+2+3+\ldots+n) $. Сумма в скобках, как мы знаем из пункта а), равна $ \frac{n(n+1)}{2} $.
Значит, сумма показателей в числителе равна $ 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) $.
Числитель равен $ x^{n(n+1)} $.
Знаменатель этого выражения такой же, как числитель в пункте а): $ x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n = x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{x^{n(n+1)}}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}} = x^{n(n+1) - \frac{n(n+1)}{2}} = x^{\frac{2n(n+1) - n(n+1)}{2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Ответ: $ x^{\frac{n(n+1)}{2}} $