Номер 689, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

689. Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел;

б) всех трёхзначных чисел.

а)

Последовательность всех двузначных чисел (от 10 до 99) является арифметической прогрессией.

Для этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 10$.

Последний член $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Сначала определим количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$99 = 10 + (n-1) \cdot 1$

$99 = 10 + n - 1$

$99 = 9 + n$

$n = 99 - 9 = 90$

Всего существует 90 двузначных чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S_{90} = \frac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = \frac{109 \cdot 90}{2} = 109 \cdot 45 = 4905$.

Ответ: 4905.

б)

Последовательность всех трёхзначных чисел (от 100 до 999) также является арифметической прогрессией.

Для этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 100$.

Последний член $a_n = 999$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Определим количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$999 = 100 + (n-1) \cdot 1$

$999 = 100 + n - 1$

$999 = 99 + n$

$n = 999 - 99 = 900$

Всего существует 900 трёхзначных чисел.

Вычислим их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S_{900} = \frac{(100 + 999) \cdot 900}{2} = \frac{1099 \cdot 900}{2} = 1099 \cdot 450 = 494550$.

Ответ: 494550.