Номер 686, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

686. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. На одной из его сторон отложим двенадцать равных отрезков от вершины. Обозначим концы этих отрезков точками $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ в порядке их удаления от вершины $O$. Пусть длина каждого из этих равных отрезков ($OA_1$, $A_1A_2$, и т.д.) равна $x$. Тогда расстояния от вершины $O$ до точек $A_n$ будут равны:

$|OA_1| = x$

$|OA_2| = |OA_1| + |A_1A_2| = x + x = 2x$

$|OA_3| = |OA_2| + |A_2A_3| = 2x + x = 3x$

$\ldots$

$|OA_{12}| = 12x$

Через точки $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ проведены параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в точках $B_1, B_2, \ldots, B_{12}$ соответственно. Таким образом, образуются параллельные отрезки $A_1B_1, A_2B_2, \ldots, A_{12}B_{12}$.

Рассмотрим семейство треугольников $\triangle OA_1B_1, \triangle OA_2B_2, \ldots, \triangle OA_{12}B_{12}$. Все эти треугольники подобны друг другу. Они имеют общий угол при вершине $O$, а так как прямые $A_nB_n$ параллельны, то углы $\angle OA_nB_n$ равны между собой как соответственные при параллельных прямых и секущей $OB_n$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Сравним каждый треугольник $\triangle OA_nB_n$ с наименьшим треугольником $\triangle OA_1B_1$. Коэффициент подобия $k_n$ для пары треугольников $\triangle OA_nB_n$ и $\triangle OA_1B_1$ равен:

$k_n = \frac{|OA_n|}{|OA_1|} = \frac{nx}{x} = n$

Следовательно, отношение длин параллельных отрезков $A_nB_n$ и $A_1B_1$ также равно этому коэффициенту подобия:

$\frac{|A_nB_n|}{|A_1B_1|} = n \implies |A_nB_n| = n \cdot |A_1B_1|$

Длины параллельных отрезков образуют последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего. Наименьшим отрезком является тот, что ближе всего к вершине, то есть $A_1B_1$. По условию задачи, его длина равна 3 см.

$|A_1B_1| = 3$ см.

Теперь мы можем найти длины всех двенадцати отрезков:

$|A_1B_1| = 1 \cdot 3 = 3$ см

$|A_2B_2| = 2 \cdot 3 = 6$ см

$|A_3B_3| = 3 \cdot 3 = 9$ см

$\ldots$

$|A_{12}B_{12}| = 12 \cdot 3 = 36$ см

Эти длины образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 3$, последним членом $a_{12} = 36$ и количеством членов $n=12$.

Чтобы найти сумму длин всех этих отрезков $S$, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Подставим наши значения:

$S_{12} = \frac{12(3 + 36)}{2} = \frac{12 \cdot 39}{2} = 6 \cdot 39 = 234$ см.

Ответ: 234 см.