Номер 690, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

690. Найдите сумму:

а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;

б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;

в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, ..., 200.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$.

Последний член прогрессии $a_n = 200$.

Разность прогрессии $d = 2$.

Сначала найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$200 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$198 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{198}{2}$

$n-1 = 99$

$n = 100$

Теперь найдём сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{202}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 100 = 10100$.

Ответ: 10100.

б) Требуется найти сумму всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 1, 3, 5, ..., 149.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 149$ (это наибольшее нечетное число, не превосходящее 150).

Разность прогрессии $d = 2$.

Найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$149 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$148 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{148}{2}$

$n-1 = 74$

$n = 75$

Теперь найдём сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{75} = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625$.

Ответ: 5625.

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.

Найдём первый член этой прогрессии. Это наименьшее число, большее или равное 100, которое делится на 3. $100 \div 3 \approx 33.33$. Ближайшее целое, большее 33.33, это 34. $34 \cdot 3 = 102$. Итак, $a_1 = 102$.

Найдём последний член прогрессии. Это наибольшее число, меньшее или равное 200, которое делится на 3. $200 \div 3 \approx 66.66$. Ближайшее целое, меньшее 66.66, это 66. $66 \cdot 3 = 198$. Итак, $a_n = 198$.

Разность прогрессии $d = 3$.

Найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$198 = 102 + (n-1) \cdot 3$

$96 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = \frac{96}{3}$

$n-1 = 32$

$n = 33$

Теперь найдём сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{33} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Ответ: 4950.