Номер 691, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

691. Какова сумма натуральных чисел:

a) меньших 100 и не кратных 3;

б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?

а) Чтобы найти сумму натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 3, мы применим следующий подход: сначала вычислим сумму всех натуральных чисел, меньших 100 (то есть от 1 до 99), а затем вычтем из этой суммы сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{99} = 99$, а количество членов $n = 99$. Сумма арифметической прогрессии находится по формуле: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Сумма всех чисел от 1 до 99 равна:

$S_{все} = \frac{99 \cdot (1 + 99)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$.

2. Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 99, которые кратны 3. Это числа 3, 6, 9, ..., 99. Они также образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, последний член $b_m = 99$, а разность прогрессии $d = 3$.

Количество таких чисел $m$ равно $99 / 3 = 33$.

Сумма чисел, кратных 3, равна:

$S_{кратные\;3} = \frac{33 \cdot (3 + 99)}{2} = \frac{33 \cdot 102}{2} = 33 \cdot 51 = 1683$.

3. Наконец, чтобы найти искомую сумму, вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 3:

$S = S_{все} - S_{кратные\;3} = 4950 - 1683 = 3267$.

Ответ: 3267.

б) Чтобы найти сумму натуральных чисел, больших 50, но меньших 150 и не кратных 5, мы сначала вычислим сумму всех натуральных чисел в этом диапазоне (от 51 до 149), а затем вычтем из нее сумму чисел из этого же диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 51 до 149. Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 51$, а последний член $a_n = 149$. Количество членов в этой прогрессии $n = 149 - 51 + 1 = 99$.

Сумма этих чисел равна:

$S_{все} = \frac{99 \cdot (51 + 149)}{2} = \frac{99 \cdot 200}{2} = 99 \cdot 100 = 9900$.

2. Теперь найдем сумму чисел в диапазоне от 51 до 149, которые кратны 5. Первое такое число — 55, а последнее — 145. Эти числа (55, 60, ..., 145) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 5$.

Найдем количество членов $m$ в этой прогрессии: $m = \frac{145 - 55}{5} + 1 = \frac{90}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$.

Сумма этих чисел, кратных 5, равна:

$S_{кратные\;5} = \frac{19 \cdot (55 + 145)}{2} = \frac{19 \cdot 200}{2} = 19 \cdot 100 = 1900$.

3. Вычтем из общей суммы чисел в диапазоне сумму чисел, кратных 5, чтобы получить искомый результат:

$S = S_{все} - S_{кратные\;5} = 9900 - 1900 = 8000$.

Ответ: 8000.