Страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

686. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. На одной из его сторон отложим двенадцать равных отрезков от вершины. Обозначим концы этих отрезков точками $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ в порядке их удаления от вершины $O$. Пусть длина каждого из этих равных отрезков ($OA_1$, $A_1A_2$, и т.д.) равна $x$. Тогда расстояния от вершины $O$ до точек $A_n$ будут равны:

$|OA_1| = x$

$|OA_2| = |OA_1| + |A_1A_2| = x + x = 2x$

$|OA_3| = |OA_2| + |A_2A_3| = 2x + x = 3x$

$\ldots$

$|OA_{12}| = 12x$

Через точки $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ проведены параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в точках $B_1, B_2, \ldots, B_{12}$ соответственно. Таким образом, образуются параллельные отрезки $A_1B_1, A_2B_2, \ldots, A_{12}B_{12}$.

Рассмотрим семейство треугольников $\triangle OA_1B_1, \triangle OA_2B_2, \ldots, \triangle OA_{12}B_{12}$. Все эти треугольники подобны друг другу. Они имеют общий угол при вершине $O$, а так как прямые $A_nB_n$ параллельны, то углы $\angle OA_nB_n$ равны между собой как соответственные при параллельных прямых и секущей $OB_n$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Сравним каждый треугольник $\triangle OA_nB_n$ с наименьшим треугольником $\triangle OA_1B_1$. Коэффициент подобия $k_n$ для пары треугольников $\triangle OA_nB_n$ и $\triangle OA_1B_1$ равен:

$k_n = \frac{|OA_n|}{|OA_1|} = \frac{nx}{x} = n$

Следовательно, отношение длин параллельных отрезков $A_nB_n$ и $A_1B_1$ также равно этому коэффициенту подобия:

$\frac{|A_nB_n|}{|A_1B_1|} = n \implies |A_nB_n| = n \cdot |A_1B_1|$

Длины параллельных отрезков образуют последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего. Наименьшим отрезком является тот, что ближе всего к вершине, то есть $A_1B_1$. По условию задачи, его длина равна 3 см.

$|A_1B_1| = 3$ см.

Теперь мы можем найти длины всех двенадцати отрезков:

$|A_1B_1| = 1 \cdot 3 = 3$ см

$|A_2B_2| = 2 \cdot 3 = 6$ см

$|A_3B_3| = 3 \cdot 3 = 9$ см

$\ldots$

$|A_{12}B_{12}| = 12 \cdot 3 = 36$ см

Эти длины образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 3$, последним членом $a_{12} = 36$ и количеством членов $n=12$.

Чтобы найти сумму длин всех этих отрезков $S$, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Подставим наши значения:

$S_{12} = \frac{12(3 + 36)}{2} = \frac{12 \cdot 39}{2} = 6 \cdot 39 = 234$ см.

Ответ: 234 см.

687. В арифметической прогрессии ($a_n$):

a) $d = -0,4, n = 12, a_n = 2,4$; найдите $a_1$ и $S_n$;

б) $a_1 = -35, d = 5, S_n = 250$; найдите $n$ и $a_n$;

в) $d = \frac{1}{2}, a_n = 50, S_n = 2525$; найдите $a_1$ и $n$;

г) $a_1 = -\frac{1}{2}, a_n = -29\frac{1}{2}, S_n = -450$; найдите $d$ и $n$.

а) Для нахождения $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $d = -0,4$, $n = 12$, $a_{12} = 2,4$.
$2,4 = a_1 + (12 - 1) \cdot (-0,4)$
$2,4 = a_1 + 11 \cdot (-0,4)$
$2,4 = a_1 - 4,4$
$a_1 = 2,4 + 4,4 = 6,8$.
Теперь найдем сумму первых 12 членов прогрессии $S_{12}$, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{12} = \frac{6,8 + 2,4}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{9,2}{2} \cdot 12 = 4,6 \cdot 12 = 55,2$.
Ответ: $a_1 = 6,8$; $S_{12} = 55,2$.

б) Дано: $a_1 = -35$, $d = 5$, $S_n = 250$. Для нахождения $n$ воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:
$250 = \frac{2 \cdot (-35) + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n$
$500 = (-70 + 5n - 5) \cdot n$
$500 = (5n - 75) \cdot n$
$5n^2 - 75n - 500 = 0$.
Разделим уравнение на 5:
$n^2 - 15n - 100 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 25$.
$n_1 = \frac{15 + 25}{2} = 20$
$n_2 = \frac{15 - 25}{2} = -5$.
Так как количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, то $n = 20$.
Теперь найдем $a_n = a_{20}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{20} = -35 + (20 - 1) \cdot 5 = -35 + 19 \cdot 5 = -35 + 95 = 60$.
Ответ: $n = 20$; $a_{20} = 60$.

в) Дано: $d = \frac{1}{2}$, $a_n = 50$, $S_n = 2525$. Составим систему уравнений, используя формулы n-го члена и суммы прогрессии:
1) $a_n = a_1 + (n-1)d \implies 50 = a_1 + (n-1) \cdot \frac{1}{2}$
2) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \implies 2525 = \frac{a_1 + 50}{2} \cdot n$
Выразим $a_1$ из первого уравнения: $a_1 = 50 - \frac{1}{2}(n-1)$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2525 = \frac{(50 - \frac{1}{2}(n-1)) + 50}{2} \cdot n$
$5050 = (100 - \frac{1}{2}(n-1)) \cdot n$
$5050 = (100 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}) \cdot n$
$5050 = (100,5 - 0,5n) \cdot n$
$5050 = 100,5n - 0,5n^2$
Умножим все уравнение на 2 и перенесем все члены в левую часть:
$n^2 - 201n + 10100 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-201)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10100 = 40401 - 40400 = 1$.
$n_1 = \frac{201 + 1}{2} = 101$
$n_2 = \frac{201 - 1}{2} = 100$.
Оба корня являются натуральными числами, поэтому возможны два решения. Найдем $a_1$ для каждого значения $n$:
1. Если $n = 101$, то $a_1 = 50 - \frac{1}{2}(101-1) = 50 - \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 - 50 = 0$.
2. Если $n = 100$, то $a_1 = 50 - \frac{1}{2}(100-1) = 50 - \frac{99}{2} = 50 - 49,5 = 0,5$.
Ответ: Существует два решения: 1) $a_1 = 0$, $n = 101$; 2) $a_1 = 0,5$, $n = 100$.

г) Дано: $a_1 = -\frac{1}{2}$, $a_n = -29\frac{1}{2}$, $S_n = -450$. Для удобства расчетов переведем смешанные числа в десятичные дроби: $a_1 = -0,5$, $a_n = -29,5$.
Для нахождения $n$ используем формулу суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$-450 = \frac{-0,5 + (-29,5)}{2} \cdot n$
$-450 = \frac{-30}{2} \cdot n$
$-450 = -15n$
$n = \frac{-450}{-15} = 30$.
Теперь найдем разность прогрессии $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{30} = a_1 + (30-1)d$
$-29,5 = -0,5 + 29d$
$-29,5 + 0,5 = 29d$
$-29 = 29d$
$d = -1$.
Ответ: $d = -1$; $n = 30$.

688. Найдите разность арифметической прогрессии $(x_n)$ и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен $1$ и сумма первых шестнадцати её членов равна $4$.

Пусть $x_1$ — первый член арифметической прогрессии $(x_n)$, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Согласно условию задачи, десятый член прогрессии $x_{10}$ равен 1. Используя формулу n-го члена для $n=10$, составим первое уравнение:

$x_{10} = x_1 + (10-1)d = 1$

$x_1 + 9d = 1$

Также, по условию, сумма первых шестнадцати членов $S_{16}$ равна 4. Используя формулу суммы для $n=16$, составим второе уравнение:

$S_{16} = \frac{2x_1 + (16-1)d}{2} \cdot 16 = 4$

Выполним упрощение:

$(2x_1 + 15d) \cdot \frac{16}{2} = 4$

$(2x_1 + 15d) \cdot 8 = 4$

Разделим обе части уравнения на 8:

$2x_1 + 15d = \frac{4}{8}$

$2x_1 + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $d$:

$\begin{cases} x_1 + 9d = 1 \\ 2x_1 + 15d = \frac{1}{2} \end{cases}$

Для решения системы выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = 1 - 9d$

Подставим полученное выражение для $x_1$ во второе уравнение системы:

$2(1 - 9d) + 15d = \frac{1}{2}$

$2 - 18d + 15d = \frac{1}{2}$

$2 - 3d = \frac{1}{2}$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3d = \frac{1}{2} - 2$

$-3d = \frac{1}{2} - \frac{4}{2}$

$-3d = -\frac{3}{2}$

$d = \frac{-3/2}{-3} = \frac{1}{2}$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем первый член $x_1$, подставив значение $d = \frac{1}{2}$ в выражение $x_1 = 1 - 9d$:

$x_1 = 1 - 9 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{9}{2} = \frac{2}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$

$x_1 = -3.5$

Ответ: разность арифметической прогрессии $d = \frac{1}{2}$, первый член $x_1 = -\frac{7}{2}$.

689. Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел;

б) всех трёхзначных чисел.

а)

Последовательность всех двузначных чисел (от 10 до 99) является арифметической прогрессией.

Для этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 10$.

Последний член $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Сначала определим количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$99 = 10 + (n-1) \cdot 1$

$99 = 10 + n - 1$

$99 = 9 + n$

$n = 99 - 9 = 90$

Всего существует 90 двузначных чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S_{90} = \frac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = \frac{109 \cdot 90}{2} = 109 \cdot 45 = 4905$.

Ответ: 4905.

б)

Последовательность всех трёхзначных чисел (от 100 до 999) также является арифметической прогрессией.

Для этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 100$.

Последний член $a_n = 999$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Определим количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$999 = 100 + (n-1) \cdot 1$

$999 = 100 + n - 1$

$999 = 99 + n$

$n = 999 - 99 = 900$

Всего существует 900 трёхзначных чисел.

Вычислим их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

$S_{900} = \frac{(100 + 999) \cdot 900}{2} = \frac{1099 \cdot 900}{2} = 1099 \cdot 450 = 494550$.

Ответ: 494550.

690. Найдите сумму:

а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;

б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;

в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, ..., 200.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$.

Последний член прогрессии $a_n = 200$.

Разность прогрессии $d = 2$.

Сначала найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$200 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$198 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{198}{2}$

$n-1 = 99$

$n = 100$

Теперь найдём сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{202}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 100 = 10100$.

Ответ: 10100.

б) Требуется найти сумму всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 1, 3, 5, ..., 149.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 149$ (это наибольшее нечетное число, не превосходящее 150).

Разность прогрессии $d = 2$.

Найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$149 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$148 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = \frac{148}{2}$

$n-1 = 74$

$n = 75$

Теперь найдём сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{75} = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625$.

Ответ: 5625.

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.

Найдём первый член этой прогрессии. Это наименьшее число, большее или равное 100, которое делится на 3. $100 \div 3 \approx 33.33$. Ближайшее целое, большее 33.33, это 34. $34 \cdot 3 = 102$. Итак, $a_1 = 102$.

Найдём последний член прогрессии. Это наибольшее число, меньшее или равное 200, которое делится на 3. $200 \div 3 \approx 66.66$. Ближайшее целое, меньшее 66.66, это 66. $66 \cdot 3 = 198$. Итак, $a_n = 198$.

Разность прогрессии $d = 3$.

Найдём количество членов прогрессии $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$198 = 102 + (n-1) \cdot 3$

$96 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = \frac{96}{3}$

$n-1 = 32$

$n = 33$

Теперь найдём сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{33} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Ответ: 4950.

691. Какова сумма натуральных чисел:

a) меньших 100 и не кратных 3;

б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?

а) Чтобы найти сумму натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 3, мы применим следующий подход: сначала вычислим сумму всех натуральных чисел, меньших 100 (то есть от 1 до 99), а затем вычтем из этой суммы сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{99} = 99$, а количество членов $n = 99$. Сумма арифметической прогрессии находится по формуле: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Сумма всех чисел от 1 до 99 равна:

$S_{все} = \frac{99 \cdot (1 + 99)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$.

2. Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 99, которые кратны 3. Это числа 3, 6, 9, ..., 99. Они также образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, последний член $b_m = 99$, а разность прогрессии $d = 3$.

Количество таких чисел $m$ равно $99 / 3 = 33$.

Сумма чисел, кратных 3, равна:

$S_{кратные\;3} = \frac{33 \cdot (3 + 99)}{2} = \frac{33 \cdot 102}{2} = 33 \cdot 51 = 1683$.

3. Наконец, чтобы найти искомую сумму, вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 3:

$S = S_{все} - S_{кратные\;3} = 4950 - 1683 = 3267$.

Ответ: 3267.

б) Чтобы найти сумму натуральных чисел, больших 50, но меньших 150 и не кратных 5, мы сначала вычислим сумму всех натуральных чисел в этом диапазоне (от 51 до 149), а затем вычтем из нее сумму чисел из этого же диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 51 до 149. Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 51$, а последний член $a_n = 149$. Количество членов в этой прогрессии $n = 149 - 51 + 1 = 99$.

Сумма этих чисел равна:

$S_{все} = \frac{99 \cdot (51 + 149)}{2} = \frac{99 \cdot 200}{2} = 99 \cdot 100 = 9900$.

2. Теперь найдем сумму чисел в диапазоне от 51 до 149, которые кратны 5. Первое такое число — 55, а последнее — 145. Эти числа (55, 60, ..., 145) образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 5$.

Найдем количество членов $m$ в этой прогрессии: $m = \frac{145 - 55}{5} + 1 = \frac{90}{5} + 1 = 18 + 1 = 19$.

Сумма этих чисел, кратных 5, равна:

$S_{кратные\;5} = \frac{19 \cdot (55 + 145)}{2} = \frac{19 \cdot 200}{2} = 19 \cdot 100 = 1900$.

3. Вычтем из общей суммы чисел в диапазоне сумму чисел, кратных 5, чтобы получить искомый результат:

$S = S_{все} - S_{кратные\;5} = 9900 - 1900 = 8000$.

Ответ: 8000.

692. Найдите натуральное число, которое:

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

а) Пусть искомое натуральное число равно $n$. Тогда предшествующие ему натуральные числа — это ряд $1, 2, 3, \ldots, n-1$. Сумма этих чисел является суммой арифметической прогрессии и вычисляется по формуле:
$S_{n-1} = \frac{1 + (n-1)}{2} \cdot (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$
Согласно условию, искомое число в 5 раз меньше этой суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n = \frac{S_{n-1}}{5}$
Подставим выражение для суммы $S_{n-1}$:
$n = \frac{n(n-1)}{2 \cdot 5}$
$n = \frac{n(n-1)}{10}$
Поскольку $n$ — натуральное число, оно не равно нулю ($n \ge 1$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $n$:
$1 = \frac{n-1}{10}$
Умножим обе части на 10:
$10 = n - 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 10 + 1 = 11$
Проверим: сумма чисел, предшествующих 11, это $1+2+\ldots+10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$. Число $11$ действительно в 5 раз меньше $55$, так как $55 \div 5 = 11$.
Ответ: 11

б) Используем те же обозначения, что и в пункте а). Искомое натуральное число равно $n$, а сумма предшествующих ему натуральных чисел равна $S_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$.
По условию, искомое число равно сумме предшествующих ему чисел:
$n = S_{n-1}$
Подставим формулу для суммы:
$n = \frac{n(n-1)}{2}$
Так как $n$ — натуральное число, $n \ne 0$, разделим обе части на $n$:
$1 = \frac{n-1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$2 = n - 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 2 + 1 = 3$
Проверим: числа, предшествующие 3, это 1 и 2. Их сумма равна $1+2=3$. Это равно самому числу 3.
Ответ: 3

693. Члены арифметической прогрессии

2; 5; 8; ...

с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность ($x_n$). Напишите формулу $n$-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Сначала найдем общую формулу для членов исходной арифметической прогрессии.

Дана последовательность: 2; 5; 8; ...

Это арифметическая прогрессия $(a_n)$, где первый член $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

Таким образом, формула n-го члена исходной прогрессии: $a_n = 3n - 1$.

По условию задачи, была получена новая последовательность $(x_n)$, в которой члены с чётными номерами заменены на противоположные им числа. Это означает:

• Если $n$ — нечётное число, то $x_n = a_n$.
• Если $n$ — чётное число, то $x_n = -a_n$.

Новая последовательность $(x_n)$ выглядит так:

$x_1 = a_1 = 2$

$x_2 = -a_2 = -5$

$x_3 = a_3 = 8$

$x_4 = -a_4 = -(3 \cdot 4 - 1) = -11$

и так далее.

Формула n-го члена этой последовательности

Чтобы записать единую формулу для $x_n$, можно использовать множитель $(-1)^{n-1}$, который равен 1 для нечётных $n$ и -1 для чётных $n$.

Тогда формула n-го члена последовательности $(x_n)$ будет:

$x_n = (-1)^{n-1} \cdot a_n$

Подставляя ранее найденную формулу для $a_n$, получаем:

$x_n = (-1)^{n-1}(3n - 1)$

Ответ: $x_n = (-1)^{n-1}(3n-1)$.

Сумма первых пятидесяти её членов

Нам нужно найти сумму $S_{50}$ первых 50 членов последовательности $(x_n)$.

$S_{50} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots + x_{49} + x_{50}$

Запишем эту сумму через члены исходной прогрессии $(a_n)$:

$S_{50} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + a_{49} - a_{50}$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_{50} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \dots + (a_{49} - a_{50})$

Всего в сумме 50 членов, следовательно, мы получаем $50 / 2 = 25$ таких пар.

Найдем значение каждой такой пары. Разность двух последовательных членов арифметической прогрессии $a_k - a_{k+1}$ равна $-d$.

$a_k - a_{k+1} = a_k - (a_k + d) = -d$

В нашем случае разность $d = 3$, значит, значение каждой скобки равно $-3$.

Например:

$a_1 - a_2 = 2 - 5 = -3$

$a_3 - a_4 = 8 - 11 = -3$

Сумма $S_{50}$ состоит из 25 слагаемых, каждое из которых равно $-3$.

$S_{50} = 25 \cdot (-3) = -75$

Ответ: -75.

694. Упростите выражение:

a) $\frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}}$;

б) $\frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}$.

а) Упростим выражение $ \frac{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n}{x \cdot x^3 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{2n-1}} $.
Для этого воспользуемся свойством степени $ a^m \cdot a^k = a^{m+k} $ и $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.
Сначала преобразуем числитель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ натуральных чисел: $ 1 + 2 + 3 + \ldots + n $. Это арифметическая прогрессия, сумма которой вычисляется по формуле $ S_n = \frac{n(n+1)}{2} $.
Таким образом, числитель равен $ x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Теперь преобразуем знаменатель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ нечетных чисел: $ 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) $. Сумма этой арифметической прогрессии равна $ n^2 $.
Таким образом, знаменатель равен $ x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)} = x^{n^2} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:
$ \frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2} - n^2} = x^{\frac{n^2+n}{2} - \frac{2n^2}{2}} = x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} $.
Ответ: $ x^{\frac{n-n^2}{2}} $

б) Упростим выражение $ \frac{x^2 \cdot x^4 \cdot x^6 \cdot \ldots \cdot x^{2n}}{x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n} $.
Преобразуем числитель. Показатели степеней образуют сумму первых $n$ четных чисел: $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n $. Эту сумму можно представить как $ 2(1+2+3+\ldots+n) $. Сумма в скобках, как мы знаем из пункта а), равна $ \frac{n(n+1)}{2} $.
Значит, сумма показателей в числителе равна $ 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) $.
Числитель равен $ x^{n(n+1)} $.
Знаменатель этого выражения такой же, как числитель в пункте а): $ x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n = x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{x^{n(n+1)}}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}} = x^{n(n+1) - \frac{n(n+1)}{2}} = x^{\frac{2n(n+1) - n(n+1)}{2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2}} $.
Ответ: $ x^{\frac{n(n+1)}{2}} $