Номер 693, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

693. Члены арифметической прогрессии

2; 5; 8; ...

с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность ($x_n$). Напишите формулу $n$-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Сначала найдем общую формулу для членов исходной арифметической прогрессии.

Дана последовательность: 2; 5; 8; ...

Это арифметическая прогрессия $(a_n)$, где первый член $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения:

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

Таким образом, формула n-го члена исходной прогрессии: $a_n = 3n - 1$.

По условию задачи, была получена новая последовательность $(x_n)$, в которой члены с чётными номерами заменены на противоположные им числа. Это означает:

• Если $n$ — нечётное число, то $x_n = a_n$.
• Если $n$ — чётное число, то $x_n = -a_n$.

Новая последовательность $(x_n)$ выглядит так:

$x_1 = a_1 = 2$

$x_2 = -a_2 = -5$

$x_3 = a_3 = 8$

$x_4 = -a_4 = -(3 \cdot 4 - 1) = -11$

и так далее.

Формула n-го члена этой последовательности

Чтобы записать единую формулу для $x_n$, можно использовать множитель $(-1)^{n-1}$, который равен 1 для нечётных $n$ и -1 для чётных $n$.

Тогда формула n-го члена последовательности $(x_n)$ будет:

$x_n = (-1)^{n-1} \cdot a_n$

Подставляя ранее найденную формулу для $a_n$, получаем:

$x_n = (-1)^{n-1}(3n - 1)$

Ответ: $x_n = (-1)^{n-1}(3n-1)$.

Сумма первых пятидесяти её членов

Нам нужно найти сумму $S_{50}$ первых 50 членов последовательности $(x_n)$.

$S_{50} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots + x_{49} + x_{50}$

Запишем эту сумму через члены исходной прогрессии $(a_n)$:

$S_{50} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots + a_{49} - a_{50}$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$S_{50} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \dots + (a_{49} - a_{50})$

Всего в сумме 50 членов, следовательно, мы получаем $50 / 2 = 25$ таких пар.

Найдем значение каждой такой пары. Разность двух последовательных членов арифметической прогрессии $a_k - a_{k+1}$ равна $-d$.

$a_k - a_{k+1} = a_k - (a_k + d) = -d$

В нашем случае разность $d = 3$, значит, значение каждой скобки равно $-3$.

Например:

$a_1 - a_2 = 2 - 5 = -3$

$a_3 - a_4 = 8 - 11 = -3$

Сумма $S_{50}$ состоит из 25 слагаемых, каждое из которых равно $-3$.

$S_{50} = 25 \cdot (-3) = -75$

Ответ: -75.