Номер 700, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

700. Является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, если сумма первых $n$ её членов может быть найдена по формуле:

а) $S_n = -n^2 + 3n;$

б) $S_n = 2n^2 - 1;$

в) $S_n = n^2 + 2n - 8;$

г) $S_n = 6n + 5?$

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между любыми двумя последовательными членами постоянной величиной ($x_{n+1} - x_n = d$, где $d$ — константа). Для этого найдем первые несколько членов каждой последовательности, используя связь между членом последовательности $x_n$ и суммой первых $n$ членов $S_n$: $x_1 = S_1$ и $x_n = S_n - S_{n-1}$ для $n \ge 2$.

а) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = -n^2 + 3n$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.$x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.$x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да, является.

б) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = 2n^2 - 1$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 2(2)^2 - 1 = 8 - 1 = 7$.$x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 2(3)^2 - 1 = 18 - 1 = 17$.$x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.Разность не является постоянной, так как $5 \ne 4$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

в) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = n^2 + 2n - 8$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.$x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.$x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.Разность не является постоянной, так как $10 \ne 2$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.

г) Для последовательности, заданной формулой суммы $S_n = 6n + 5$, найдем первые три члена.Первый член $x_1$ равен $S_1$:$x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.Второй член $x_2$ равен $S_2 - S_1$:$S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.$x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.Третий член $x_3$ равен $S_3 - S_2$:$S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.$x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \dots$.Проверим разность между соседними членами:$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.Разность не является постоянной, так как $-5 \ne 0$. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет, не является.