Номер 701, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

701. Найдите обозначенные буквами члены геометрической про-грессии ($b_n$):

a) $b_1$; $b_2$; 225; -135; 81; $b_6$; ... ;

б) $b_1$; $b_2$; $b_3$; 36; 54; ... .

а)

Дана последовательность геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_1; b_2; 225; -135; 81; b_6; \dots$

Из последовательности известны следующие члены: $b_3 = 225$, $b_4 = -135$, $b_5 = 81$.

1. Первым шагом найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Воспользуемся известными членами $b_3$ и $b_4$:

$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-135}{225}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 135 и 225 равен 45.

$q = \frac{-135 \div 45}{225 \div 45} = -\frac{3}{5}$

2. Теперь, зная знаменатель прогрессии $q = -3/5$, мы можем найти неизвестные члены.

Чтобы найти $b_2$, разделим $b_3$ на $q$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{225}{-3/5} = 225 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{225}{3} \cdot (-5) = 75 \cdot (-5) = -375$

Чтобы найти $b_1$, разделим $b_2$ на $q$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-375}{-3/5} = -375 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{375}{3} \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$

Чтобы найти $b_6$, умножим $b_5$ на $q$:

$b_6 = b_5 \cdot q = 81 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{243}{5}$

Ответ: $b_1 = 625, b_2 = -375, b_6 = -243/5$.

б)

Дана последовательность геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_1; b_2; b_3; 36; 54; \dots$

Из последовательности известны следующие члены: $b_4 = 36$, $b_5 = 54$.

1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{54}{36}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 54 и 36 равен 18.

$q = \frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$

2. Теперь, зная знаменатель $q = 3/2$, найдем неизвестные члены, двигаясь в обратном порядке от известных членов к началу прогрессии. Для этого будем делить каждый известный член на $q$.

Найдем $b_3$:

$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{36}{3/2} = 36 \cdot \frac{2}{3} = \frac{36}{3} \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{24}{3/2} = 24 \cdot \frac{2}{3} = \frac{24}{3} \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{16}{3/2} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $b_1 = 32/3, b_2 = 16, b_3 = 24$.