Номер 695, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

695. Найдите:

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии $8.2; 7.4; \ldots$;

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-6.5; -6; \ldots$.

а) Найдём сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 8,2$.
Второй член прогрессии $a_2 = 7,4$.
Найдём разность арифметической прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 7,4 - 8,2 = -0,8$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, сначала определим, сколько в прогрессии положительных членов. Для этого решим неравенство $a_n > 0$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, который вычисляется по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_1 + (n-1)d > 0$
$8,2 + (n-1)(-0,8) > 0$
$8,2 - 0,8n + 0,8 > 0$
$9 - 0,8n > 0$
$9 > 0,8n$
$n < \frac{9}{0,8}$
$n < 11,25$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, в данной прогрессии 11 положительных членов ($n=11$).

Найдём последний положительный член прогрессии, $a_{11}$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 8,2 + 10 \cdot (-0,8) = 8,2 - 8 = 0,2$.

Теперь найдём сумму этих 11 членов по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{11} = \frac{8,2 + 0,2}{2} \cdot 11 = \frac{8,4}{2} \cdot 11 = 4,2 \cdot 11 = 46,2$.

Ответ: 46,2.

б) Найдём сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -6,5; -6; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -6,5$.
Второй член прогрессии $b_2 = -6$.
Найдём разность арифметической прогрессии $d$:
$d = b_2 - b_1 = -6 - (-6,5) = -6 + 6,5 = 0,5$.

Чтобы найти сумму всех отрицательных членов, определим, сколько в прогрессии отрицательных членов. Для этого решим неравенство $b_n < 0$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, который вычисляется по формуле $b_n = b_1 + (n-1)d$.
$b_1 + (n-1)d < 0$
$-6,5 + (n-1) \cdot 0,5 < 0$
$-6,5 + 0,5n - 0,5 < 0$
$-7 + 0,5n < 0$
$0,5n < 7$
$n < \frac{7}{0,5}$
$n < 14$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, в данной прогрессии 13 отрицательных членов ($n=13$).

Найдём последний отрицательный член прогрессии, $b_{13}$:
$b_{13} = b_1 + (13-1)d = -6,5 + 12 \cdot 0,5 = -6,5 + 6 = -0,5$.

Теперь найдём сумму этих 13 членов по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$:
$S_{13} = \frac{-6,5 + (-0,5)}{2} \cdot 13 = \frac{-7}{2} \cdot 13 = -3,5 \cdot 13 = -45,5$.

Ответ: -45,5.