Номер 692, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

692. Найдите натуральное число, которое:

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

а) Пусть искомое натуральное число равно $n$. Тогда предшествующие ему натуральные числа — это ряд $1, 2, 3, \ldots, n-1$. Сумма этих чисел является суммой арифметической прогрессии и вычисляется по формуле:
$S_{n-1} = \frac{1 + (n-1)}{2} \cdot (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$
Согласно условию, искомое число в 5 раз меньше этой суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n = \frac{S_{n-1}}{5}$
Подставим выражение для суммы $S_{n-1}$:
$n = \frac{n(n-1)}{2 \cdot 5}$
$n = \frac{n(n-1)}{10}$
Поскольку $n$ — натуральное число, оно не равно нулю ($n \ge 1$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $n$:
$1 = \frac{n-1}{10}$
Умножим обе части на 10:
$10 = n - 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 10 + 1 = 11$
Проверим: сумма чисел, предшествующих 11, это $1+2+\ldots+10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$. Число $11$ действительно в 5 раз меньше $55$, так как $55 \div 5 = 11$.
Ответ: 11

б) Используем те же обозначения, что и в пункте а). Искомое натуральное число равно $n$, а сумма предшествующих ему натуральных чисел равна $S_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$.
По условию, искомое число равно сумме предшествующих ему чисел:
$n = S_{n-1}$
Подставим формулу для суммы:
$n = \frac{n(n-1)}{2}$
Так как $n$ — натуральное число, $n \ne 0$, разделим обе части на $n$:
$1 = \frac{n-1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$2 = n - 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 2 + 1 = 3$
Проверим: числа, предшествующие 3, это 1 и 2. Их сумма равна $1+2=3$. Это равно самому числу 3.
Ответ: 3