Номер 688, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

688. Найдите разность арифметической прогрессии $(x_n)$ и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен $1$ и сумма первых шестнадцати её членов равна $4$.

Пусть $x_1$ — первый член арифметической прогрессии $(x_n)$, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Согласно условию задачи, десятый член прогрессии $x_{10}$ равен 1. Используя формулу n-го члена для $n=10$, составим первое уравнение:

$x_{10} = x_1 + (10-1)d = 1$

$x_1 + 9d = 1$

Также, по условию, сумма первых шестнадцати членов $S_{16}$ равна 4. Используя формулу суммы для $n=16$, составим второе уравнение:

$S_{16} = \frac{2x_1 + (16-1)d}{2} \cdot 16 = 4$

Выполним упрощение:

$(2x_1 + 15d) \cdot \frac{16}{2} = 4$

$(2x_1 + 15d) \cdot 8 = 4$

Разделим обе части уравнения на 8:

$2x_1 + 15d = \frac{4}{8}$

$2x_1 + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $d$:

$\begin{cases} x_1 + 9d = 1 \\ 2x_1 + 15d = \frac{1}{2} \end{cases}$

Для решения системы выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = 1 - 9d$

Подставим полученное выражение для $x_1$ во второе уравнение системы:

$2(1 - 9d) + 15d = \frac{1}{2}$

$2 - 18d + 15d = \frac{1}{2}$

$2 - 3d = \frac{1}{2}$

Перенесем 2 в правую часть:

$-3d = \frac{1}{2} - 2$

$-3d = \frac{1}{2} - \frac{4}{2}$

$-3d = -\frac{3}{2}$

$d = \frac{-3/2}{-3} = \frac{1}{2}$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем первый член $x_1$, подставив значение $d = \frac{1}{2}$ в выражение $x_1 = 1 - 9d$:

$x_1 = 1 - 9 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{9}{2} = \frac{2}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$

$x_1 = -3.5$

Ответ: разность арифметической прогрессии $d = \frac{1}{2}$, первый член $x_1 = -\frac{7}{2}$.