Номер 685, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

685. Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии:

a) $2 + 6 + 10 + \dots + 198;$

б) $95 + 85 + 75 + \dots + (-155).$

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — n-й член, а $n$ — количество членов прогрессии. Чтобы найти количество членов $n$, воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

а) 2 + 6 + 10 + ... + 198

1. Определим параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Последний член прогрессии $a_n = 198$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$.

2. Найдем количество членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$198 = 2 + (n-1) \cdot 4$

$196 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{196}{4}$

$n-1 = 49$

$n = 50$

Таким образом, в сумме 50 слагаемых.

3. Вычислим сумму прогрессии, используя формулу суммы:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50$

$S_{50} = \frac{2 + 198}{2} \cdot 50 = \frac{200}{2} \cdot 50 = 100 \cdot 50 = 5000$

Ответ: 5000

б) 95 + 85 + 75 + ... + (-155)

1. Определим параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 95$.

Последний член прогрессии $a_n = -155$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 85 - 95 = -10$.

2. Найдем количество членов прогрессии $n$, используя формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$-155 = 95 + (n-1) \cdot (-10)$

$-155 - 95 = (n-1) \cdot (-10)$

$-250 = (n-1) \cdot (-10)$

$n-1 = \frac{-250}{-10}$

$n-1 = 25$

$n = 26$

Таким образом, в сумме 26 слагаемых.

3. Вычислим сумму прогрессии, используя формулу суммы:

$S_{26} = \frac{a_1 + a_{26}}{2} \cdot 26$

$S_{26} = \frac{95 + (-155)}{2} \cdot 26 = \frac{-60}{2} \cdot 26 = -30 \cdot 26 = -780$

Ответ: -780