Номер 681, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе 4. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 681, страница 177.

681. Докажите, что если $(y_n)$ — арифметическая прогрессия, то:

a) $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$;

б) $y_{n-5} + y_{n+10} = y_n + y_{n+5}$, где $n > 5$.

а)

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(y_n)$: $y_n = y_1 + (n-1)d$, где $y_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$. Выразим члены $y_2$ и $y_7$ через $y_1$ и $d$:
$y_2 = y_1 + (2-1)d = y_1 + d$
$y_7 = y_1 + (7-1)d = y_1 + 6d$

Сложив эти выражения, получим:
$y_2 + y_7 = (y_1 + d) + (y_1 + 6d) = 2y_1 + 7d$

Теперь преобразуем правую часть равенства. Выразим члены $y_4$ и $y_5$ через $y_1$ и $d$:
$y_4 = y_1 + (4-1)d = y_1 + 3d$
$y_5 = y_1 + (5-1)d = y_1 + 4d$

Сложив их, получим:
$y_4 + y_5 = (y_1 + 3d) + (y_1 + 4d) = 2y_1 + 7d$

Мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2y_1 + 7d$. Следовательно, равенство $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$ верно.

Это является частным случаем свойства арифметической прогрессии: если для четырёх членов $y_k, y_l, y_m, y_p$ выполняется равенство сумм индексов $k+l = m+p$, то выполняется и равенство сумм самих членов $y_k+y_l = y_m+y_p$. В данном случае $2+7 = 4+5 = 9$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $y_n = y_1 + (n-1)d$. Условие $n > 5$ обеспечивает, что все индексы являются натуральными числами (в частности, $n-5 > 0$).

Рассмотрим левую часть равенства $y_{n-5} + y_{n+10} = y_n + y_{n+5}$. Выразим $y_{n-5}$ и $y_{n+10}$ через $y_1$ и $d$:
$y_{n-5} = y_1 + ((n-5)-1)d = y_1 + (n-6)d$
$y_{n+10} = y_1 + ((n+10)-1)d = y_1 + (n+9)d$

Их сумма равна:
$y_{n-5} + y_{n+10} = (y_1 + (n-6)d) + (y_1 + (n+9)d) = 2y_1 + (n-6+n+9)d = 2y_1 + (2n+3)d$

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Выразим $y_n$ и $y_{n+5}$ через $y_1$ и $d$:
$y_n = y_1 + (n-1)d$
$y_{n+5} = y_1 + ((n+5)-1)d = y_1 + (n+4)d$

Их сумма равна:
$y_n + y_{n+5} = (y_1 + (n-1)d) + (y_1 + (n+4)d) = 2y_1 + (n-1+n+4)d = 2y_1 + (2n+3)d$

Левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $2y_1 + (2n+3)d$, следовательно, равенство $y_{n-5} + y_{n+10} = y_n + y_{n+5}$ верно.

Проверим также свойство равенства сумм индексов. Для левой части: $(n-5) + (n+10) = 2n+5$. Для правой части: $n + (n+5) = 2n+5$. Так как суммы индексов равны, то и равенство сумм членов прогрессии является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.