Номер 677, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

677. Последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Найдите:

а) $a_{12}$, если $a_1 = 9\sqrt{3}-2$ и $d = 2 - \sqrt{3}$;

б) $a_8$, если $a_1 = \frac{5\sqrt{3}-7}{3}$ и $d = \frac{\sqrt{3}-2}{3}$.

а)

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

В данном случае нам нужно найти $a_{12}$.
Дано: $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$, $n = 12$.

Подставим значения в формулу для двенадцатого члена прогрессии:

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

Выполним подстановку и вычислим:

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 2) + 11(2 - \sqrt{3})$

Раскроем скобки:

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 11 \cdot 2 - 11 \cdot \sqrt{3}$

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 22 - 11\sqrt{3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) + (-2 + 22)$

$a_{12} = -2\sqrt{3} + 20$

Для удобства записи поменяем слагаемые местами:

$a_{12} = 20 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $20 - 2\sqrt{3}$

б)

Используем ту же формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

В этом случае нам нужно найти $a_8$.
Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = \frac{\sqrt{3} - 2}{3}$, $n = 8$.

Подставим значения в формулу для восьмого члена прогрессии:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Выполним подстановку:

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + 7 \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{3}$

Умножим 7 на числитель второй дроби:

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + \frac{7(\sqrt{3} - 2)}{3}$

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + \frac{7\sqrt{3} - 14}{3}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$a_8 = \frac{(5\sqrt{3} - 7) + (7\sqrt{3} - 14)}{3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$a_8 = \frac{(5\sqrt{3} + 7\sqrt{3}) + (-7 - 14)}{3}$

$a_8 = \frac{12\sqrt{3} - 21}{3}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$a_8 = \frac{12\sqrt{3}}{3} - \frac{21}{3}$

$a_8 = 4\sqrt{3} - 7$

Ответ: $4\sqrt{3} - 7$