Номер 672, страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

672. Вычислите первые несколько членов последовательности $(y_n)$, если:

а) $y_1 = -3, y_{n+1} - y_n = 10;$

б) $y_1 = 10, y_{n+1} \cdot y_n = 2,5;$

в) $y_1 = 1,5, y_{n+1} - y_n = n;$

г) $y_1 = -4, y_{n+1} : y_n = -n^2.$

а) Последовательность задана первым членом $y_1 = -3$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} - y_n = 10$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n + 10$. Это означает, что каждый следующий член последовательности на 10 больше предыдущего. Данная последовательность является арифметической прогрессией.
Вычислим первые несколько членов:
$y_1 = -3$
$y_2 = y_1 + 10 = -3 + 10 = 7$
$y_3 = y_2 + 10 = 7 + 10 = 17$
$y_4 = y_3 + 10 = 17 + 10 = 27$
$y_5 = y_4 + 10 = 27 + 10 = 37$
Ответ: -3, 7, 17, 27, 37, ...

б) Последовательность задана первым членом $y_1 = 10$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} \cdot y_n = 2,5$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = \frac{2,5}{y_n}$.
Вычислим первые несколько членов:
$y_1 = 10$
$y_2 = \frac{2,5}{y_1} = \frac{2,5}{10} = 0,25$
$y_3 = \frac{2,5}{y_2} = \frac{2,5}{0,25} = 10$
$y_4 = \frac{2,5}{y_3} = \frac{2,5}{10} = 0,25$
$y_5 = \frac{2,5}{y_4} = \frac{2,5}{0,25} = 10$
Ответ: 10; 0,25; 10; 0,25; 10; ...

в) Последовательность задана первым членом $y_1 = 1,5$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} - y_n = n$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n + n$.
Вычислим первые несколько членов, последовательно подставляя $n=1, 2, 3, 4, ...$ :
$y_1 = 1,5$
При $n=1$: $y_2 = y_1 + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$
При $n=2$: $y_3 = y_2 + 2 = 2,5 + 2 = 4,5$
При $n=3$: $y_4 = y_3 + 3 = 4,5 + 3 = 7,5$
При $n=4$: $y_5 = y_4 + 4 = 7,5 + 4 = 11,5$
Ответ: 1,5; 2,5; 4,5; 7,5; 11,5; ...

г) Последовательность задана первым членом $y_1 = -4$ и рекуррентным соотношением $y_{n+1} : y_n = -n^2$. Выразим $(n+1)$-й член через $n$-й: $y_{n+1} = y_n \cdot (-n^2)$.
Вычислим первые несколько членов, последовательно подставляя $n=1, 2, 3, 4, ...$ :
$y_1 = -4$
При $n=1$: $y_2 = y_1 \cdot (-1^2) = -4 \cdot (-1) = 4$
При $n=2$: $y_3 = y_2 \cdot (-2^2) = 4 \cdot (-4) = -16$
При $n=3$: $y_4 = y_3 \cdot (-3^2) = -16 \cdot (-9) = 144$
При $n=4$: $y_5 = y_4 \cdot (-4^2) = 144 \cdot (-16) = -2304$
Ответ: -4, 4, -16, 144, -2304, ...