Номер 665, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

665. Докажите, что при любом натуральном $n$ верно равенство

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$

Докажем данное равенство с помощью метода математической индукции.

База индукции

Проверим справедливость равенства для $n=1$. Для левой части получаем $1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$. Для правой части получаем $1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$. Так как $4 = 4$, равенство для $n=1$ верно.

Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, мы считаем верным утверждение:

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Индукционный шаг

Докажем, что если равенство верно для $n=k$, то оно верно и для следующего натурального числа $n = k+1$. Требуется доказать:

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)((k+1) + 1)^2$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Ее можно представить как сумму для $n=k$ и еще одного слагаемого:

$(1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k+1)) + (k+1)(3(k+1) + 1)$.

Используя индукционное предположение для выражения в скобках, получаем:

$k(k+1)^2 + (k+1)(3k+3+1) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:

$(k+1)[k(k+1) + (3k+4)] = (k+1)[k^2 + k + 3k + 4] = (k+1)(k^2 + 4k + 4)$.

Выражение в скобках $k^2 + 4k + 4$ является полным квадратом $(k+2)^2$. Таким образом, левая часть равна:

$(k+1)(k+2)^2$.

Правая часть доказываемого равенства для $n=k+1$ также равна $(k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Поскольку левая и правая части совпали, индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, исходное равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$ доказано.