Номер 667, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

667. Докажите, что последовательность $(a_n)$, в которой $a_1 = -5$, $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$, можно задать формулой $a_n = 5n^2 - 10$.

Для доказательства того, что последовательность $(a_n)$, заданная рекуррентно ($a_1 = -5$ и $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$), может быть задана формулой $a_n = 5n^2 - 10$, воспользуемся методом математической индукции.

Доказательство состоит из двух шагов:

1. База индукции
Проверим, выполняется ли равенство для $n=1$.
Согласно условию, $a_1 = -5$.
Подставим $n=1$ в предложенную формулу $a_n = 5n^2 - 10$:
$a_1 = 5 \cdot 1^2 - 10 = 5 - 10 = -5$.
Так как $-5 = -5$, формула верна для $n=1$. База индукции доказана.

2. Индукционный шаг
Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=k$, то есть $a_k = 5k^2 - 10$. Это наше индукционное предположение.
Докажем, что в этом случае формула будет верна и для следующего числа $n=k+1$, то есть докажем, что $a_{k+1} = 5(k+1)^2 - 10$.

Воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии задачи:
$a_{k+1} = a_k + 10k + 5$.

Теперь подставим в это равенство выражение для $a_k$ из нашего индукционного предположения:
$a_{k+1} = (5k^2 - 10) + 10k + 5$.

Упростим полученное выражение:
$a_{k+1} = 5k^2 + 10k - 5$.

С другой стороны, преобразуем правую часть формулы, которую мы хотим доказать для $a_{k+1}$:
$5(k+1)^2 - 10 = 5(k^2 + 2k + 1) - 10 = 5k^2 + 10k + 5 - 10 = 5k^2 + 10k - 5$.

Мы получили, что выражение для $a_{k+1}$, выведенное из рекуррентного соотношения, совпадает с выражением из проверяемой формулы для $n=k+1$. Таким образом, индукционный шаг доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что формула $a_n = 5n^2 - 10$ верна для всех натуральных $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.