Номер 2, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2 Как выражается квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Чтобы выразить квадрат любого члена геометрической прогрессии (начиная со второго) через предыдущий и последующий члены, воспользуемся определением геометрической прогрессии.

Пусть имеется геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:

• $b_{n-1}$ — предыдущий член
• $b_n$ — текущий член ($n \ge 2$)
• $b_{n+1}$ — последующий член

По определению геометрической прогрессии, каждый член равен предыдущему, умноженному на знаменатель $q$:
1) $b_n = b_{n-1} \cdot q$
2) $b_{n+1} = b_n \cdot q$

Из второго уравнения выразим знаменатель $q$ (при условии, что $b_n \ne 0$):
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Теперь подставим полученное выражение для $q$ в первое уравнение:
$b_n = b_{n-1} \cdot (\frac{b_{n+1}}{b_n})$

Умножим обе части этого равенства на $b_n$, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$b_n \cdot b_n = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Это и есть искомое выражение. Оно является характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Из этого также следует, что модуль любого члена является средним геометрическим его соседей: $|b_n| = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Ответ: Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, что выражается формулой $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.