Номер 656, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

656. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($ (b_n) $), в которой $ b_2 = 6 $ и $ b_4 = 54 $, если известно, что все её члены положительны.

Для того чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$), необходимо знать её первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию задачи известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, выразив $b_4$ через $b_2$:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$54 = 6 \cdot q^2$

Разделим обе части уравнения на 6:

$q^2 = \frac{54}{6}$

$q^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $q = 3$ и $q = -3$.

В условии сказано, что все члены прогрессии положительны. Если бы знаменатель был $q = -3$, то знаки членов прогрессии чередовались бы (например, $b_2 = 6$, а $b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$), что противоречит условию. Следовательно, знаменатель прогрессии равен 3.

$q = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, зная $b_2$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$6 = b_1 \cdot 3$

$b_1 = \frac{6}{3} = 2$

Теперь у нас есть все данные для вычисления суммы первых семи членов прогрессии: $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 7$. Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3 - 1}$

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{2}$

$S_7 = 3^7 - 1$

Вычислим $3^7$:

$3^7 = 2187$

Теперь найдем сумму:

$S_7 = 2187 - 1 = 2186$

Ответ: 2186.