Номер 654, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

654. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если:

а) $x_5 = 1\frac{1}{9}$, $q = \frac{1}{3}$;

б) $x_4 = 121.5$, $q = -3$.

а)

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$), необходимо знать её первый член ($x_1$) и знаменатель ($q$). Знаменатель $q$ нам дан, а первый член $x_1$ мы найдем из формулы n-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

Дано: пятый член прогрессии $x_5 = 1\frac{1}{9}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $x_5 = 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.

Теперь подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n=5$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \frac{1}{81}$

Выразим и найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{10}{9} \div \frac{1}{81} = \frac{10}{9} \cdot 81 = 10 \cdot 9 = 90$.

Теперь, когда мы знаем $x_1 = 90$ и $q = \frac{1}{3}$, мы можем найти сумму первых пяти членов по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{90\left(\left(\frac{1}{3}\right)^5 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1}$
$S_5 = \frac{90\left(\frac{1}{243} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{90\left(\frac{1-243}{243}\right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{90\left(-\frac{242}{243}\right)}{-\frac{2}{3}}$
Так как в числителе и знаменателе есть знак минус, они сокращаются:
$S_5 = \frac{90 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = 90 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{90 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2}$
Сократим дробь:
$S_5 = \frac{45 \cdot 242}{81} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 242}{9 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 242}{9} = \frac{1210}{9}$
Переведем неправильную дробь в смешанную:
$S_5 = 134\frac{4}{9}$.

Ответ: $134\frac{4}{9}$.

б)

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сначала находим $x_1$, затем $S_5$.

Дано: четвертый член прогрессии $x_4 = 121,5$ и знаменатель $q = -3$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n=4$:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-3)^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-27)$

Выразим и найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{121,5}{-27} = -4,5$.

Теперь, зная $x_1 = -4,5$ и $q = -3$, найдем сумму первых пяти членов по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{-4,5((-3)^5 - 1)}{-3 - 1}$
$S_5 = \frac{-4,5(-243 - 1)}{-4} = \frac{-4,5(-244)}{-4}$
$S_5 = \frac{1107}{-4} = -276,75$.
Проверим вычисления:
$(-4,5) \cdot (-244) = 4,5 \cdot 244 = (4 + 0,5) \cdot 244 = 4 \cdot 244 + 0,5 \cdot 244 = 976 + 122 = 1098$.
Тогда $S_5 = \frac{1098}{-4} = -274,5$.
Давайте пересчитаем $S_5$ другим способом для надежности:
$S_5 = -\frac{4,5 \cdot 244}{4} = -4,5 \cdot \frac{244}{4} = -4,5 \cdot 61$.
$4,5 \cdot 61 = 4,5 \cdot (60+1) = 4,5 \cdot 60 + 4,5 \cdot 1 = 270 + 4,5 = 274,5$.
Следовательно, $S_5 = -274,5$.

Ответ: $-274,5$.