Номер 655, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

655. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $2$, а пятый равен $162$, если известно, что её члены с нечётными номерами положительны, а с чётными отрицательны.

Пусть $b_n$ — данная геометрическая прогрессия. По условию, её первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$.

Также известно, что члены с нечётными номерами положительны ($b_1 > 0, b_3 > 0, ...$), а с чётными — отрицательны ($b_2 < 0, b_4 < 0, ...$). Это означает, что знаки членов прогрессии чередуются. Такое возможно только в том случае, если знаменатель геометрической прогрессии $q$ является отрицательным числом ($q < 0$).

Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения для пятого члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$162 = 2 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 2: $q^4 = 81$
Это уравнение имеет два действительных корня: $q = 3$ и $q = -3$. Так как мы установили, что знаменатель прогрессии должен быть отрицательным, выбираем $q = -3$.

Теперь необходимо найти сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$). Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Подставим в неё наши значения: $b_1 = 2$, $q = -3$ и $n = 6$. $S_6 = \frac{2 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Сначала вычислим $(-3)^6$: $(-3)^6 = 729$
Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы: $S_6 = \frac{2 \cdot (729 - 1)}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{1456}{-4}$
$S_6 = -364$

Ответ: -364