Номер 652, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

652. Найдите сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии:

а) $1; 3; 3^2; \dots;$

б) $2; 2^2; 2^3; \dots;$

в) $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots;$

г) $1; -x; x^2; \dots;$, где $x \neq -1;$

д) $1; x^2; x^4; \dots;$, где $x \neq \pm 1;$

е) $1; -x^3; x^6; \dots;$, где $x \neq -1.$

а) Для геометрической прогрессии $1; 3; 3^2; ...$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{1} = 3$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим в формулу значения $b_1$ и $q$: $S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

б) Для геометрической прогрессии $2; 2^2; 2^3; ...$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Подставим эти значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{1} = 2(2^n - 1)$.
Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

в) Для геометрической прогрессии $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ (эта форма удобнее, когда $|q|<1$): $S_n = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{2})^n)$.
Ответ: $S_n = \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{2})^n)$.

г) Для геометрической прогрессии $1; -x; x^2; ...$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что знаменатель $q \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-x)^n - 1)}{-x - 1} = \frac{(-x)^n - 1}{-(x + 1)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.

д) Для геометрической прогрессии $1; x^2; x^4; ...$ (где $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q = x^2 \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.
Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

е) Для геометрической прогрессии $1; -x^3; x^6; ...$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q = -x^3 \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-x^3)^n - 1)}{-x^3 - 1} = \frac{(-x^3)^n - 1}{-(x^3 + 1)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.