Номер 645, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

645. (Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

3) Составьте уравнение и решите его.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть его катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — c.

Предположим, что длины сторон a, b, c образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии через x, а знаменатель — через q. Поскольку длины сторон должны быть положительными числами, то $x > 0$ и $q > 0$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Следовательно, её длина должна быть наибольшим членом прогрессии. Для определенности предположим, что знаменатель прогрессии $q > 1$, тогда члены прогрессии упорядочены по возрастанию. В этом случае стороны можно обозначить следующим образом:

Катет 1: $x$

Катет 2: $xq$

Гипотенуза: $xq^2$

Таким образом, мы рассматриваем прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длины x и xq, а гипотенуза — xq². Чертёж представляет собой стандартный прямоугольный треугольник с соответствующими обозначениями сторон.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника обозначены как x и xq, гипотенуза — как xq², где x — первый член геометрической прогрессии, а q — её знаменатель ($x > 0, q > 1$).

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

Для решения задачи используется теорема Пифагора, которая устанавливает фундаментальное соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Математически это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$.

Ответ: Теорему Пифагора.

3) Составьте уравнение и решите его.

Используя обозначения из пункта 1 и теорему Пифагора, составим уравнение. Подставим выражения для длин катетов ($x$ и $xq$) и гипотенузы ($xq^2$) в формулу $a^2 + b^2 = c^2$:

$(x)^2 + (xq)^2 = (xq^2)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 + x^2 q^2 = x^2 q^4$

Поскольку длина стороны $x > 0$, то $x^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$1 + q^2 = q^4$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение стандартного вида:

$q^4 - q^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = q^2$. Поскольку мы предположили, что $q > 1$, то $y > 1$. Уравнение принимает вид:

$y^2 - y - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Мы получили два возможных значения для y: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $y = q^2$, значение y должно быть положительным. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, что не является допустимым решением. Следовательно, единственное возможное значение для y:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Это число известно как золотое сечение (φ). Теперь вернёмся к переменной q:

$q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Так как $q>0$, мы берём положительный корень: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$. Поскольку $y = q^2 \approx 1.618 > 1$, наше начальное предположение $q > 1$ выполняется. Существование действительного корня для q означает, что такой треугольник может существовать.

Ответ: Уравнение: $q^4 - q^2 - 1 = 0$. Решение для знаменателя прогрессии q: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Вывод: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Это возможно в том и только в том случае, если квадрат знаменателя q этой прогрессии равен числу золотого сечения, т.е. $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Проверка:

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон x, xq и xq², если $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Проверка сводится к проверке равенства $1 + q^2 = q^4$.

Найдём значение $q^4$:

$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь подставим значения $q^2$ и $q^4$ в левую и правую части проверяемого равенства.

Левая часть: $1 + q^2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Правая часть: $q^4 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Левая часть равна правой части, следовательно, наше решение верное. Это подтверждает, что такой треугольник действительно может существовать.

Ответ: Вывод: длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Проверка подтверждает, что при знаменателе прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$ теорема Пифагора выполняется, что доказывает возможность существования такого треугольника.