Номер 644, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

644. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть искомые три положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Из первого условия известно, что сумма этих чисел равна 15. Составим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, он равен 5. Теперь последовательность можно записать как $5-d$, $5$, $5+d$. Поскольку по условию все числа положительные, то первый член $5-d > 0$, откуда следует, что $d < 5$.

Согласно второму условию, если увеличить первое и второе числа на 1, а третье — на 4, то получится геометрическая прогрессия. Запишем новые числа:

• Первое число: $(5-d) + 1 = 6-d$
• Второе число: $5 + 1 = 6$
• Третье число: $(5+d) + 4 = 9+d$

Полученные числа $6-d$, $6$ и $9+d$ образуют геометрическую прогрессию.

Воспользуемся основным свойством геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. $6^2 = (6-d)(9+d)$ $36 = 54 + 6d - 9d - d^2$ $36 = 54 - 3d - d^2$ Приведём уравнение к стандартному квадратному виду: $d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$ $d^2 + 3d - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-18$. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -6. Следовательно, у нас есть два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 3$ и $d_2 = -6$.

Рассмотрим каждый из двух случаев.

Случай 1: $d=3$.
Это значение удовлетворяет условию $d < 5$. Исходные числа арифметической прогрессии: $a_1 = 5-3 = 2$ $a_2 = 5$ $a_3 = 5+3 = 8$ Мы получили последовательность 2, 5, 8. Все числа положительны, их сумма $2+5+8=15$. Проверим второе условие: новые числа $2+1=3$, $5+1=6$, $8+4=12$. Последовательность 3, 6, 12 является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Этот вариант является решением задачи.

Случай 2: $d=-6$.
Это значение также удовлетворяет условию $d < 5$. Исходные числа арифметической прогрессии: $a_1 = 5-(-6) = 11$ $a_2 = 5$ $a_3 = 5+(-6) = -1$ В этой последовательности (11, 5, -1) третье число отрицательное, что противоречит начальному условию о том, что все три числа должны быть положительными. Следовательно, этот вариант не является решением.

Таким образом, существует только один набор чисел, удовлетворяющий всем условиям задачи.

Ответ: 2, 5, 8.